Los distintos métodos dan respuestas diferentes. Sean A,B,C tres ángulos tales que $ A=\frac{\pi}{4} $ y $ \tan B \tan C=p $ .

Question

Dejemos que $A,B,C$ sean tres ángulos tales que $ A=\frac{\pi}{4} $ y $ \tan B \tan C=p $ . Encuentre todos los valores posibles de $p$ tal que $A,B$ y $C$ son ángulos de un triángulo.

caso 1- discriminante

Podemos reescribir la siguiente ecuación

$ f(x) = x^2 - (p-1)x + p $

Como sabemos la suma y el producto de $ \tan C $ y $ \tan B $

Ajustes discriminante mayor que igual a cero.

$ { (p-1)}^2 - 4p \ge 0 $

Esto da $ p \le 3 - 2\sqrt2 $ . O $ p \ge 3 + 2\sqrt2 $

resolver ambas ecuaciones

$ A + B + C = \pi $

$ C + B + \frac{\pi}{4} = \pi $

$ C + B = \frac{3\pi}{4} $

Usando esto para resolver tanto la ecuación dan $ p \in $ real

Encontré esto en Quora. https://www.quora.com/Let-A-B-C-be-three-angles-such-that-A-frac-pi-4-and-tan-B-tan-C-p-What-are-all-the-possible-value-of-p-such-that-A-B-C-are-the-angles-of-the-triangle

el método correcto

$ 0 \lt B , C \lt \frac{3\pi}{4} $

Convirtiendo tan en sin y cos se obtiene

$ \dfrac {\sin B \sin C}{\cos B \cos C} = p $

Ahora usando componendo y dividendo

$ \frac{\cos (B-C) }{- \cos(B+C) } = \frac{p+1}{p-1} $

Sabemos que $ \cos (B+C) = 1/\sqrt2 $

Conocemos la gama de $B$ y $C$ $(0, 3/4)$ Por lo tanto, la gama de $B - C$ . $(0, 3/4 )$

Así, la gama de $\cos(B+C)$ es $ \frac{ -1}{\sqrt2} $ a $1$

Por lo tanto, utilizando esto para encontrar el rango da $ P \lt 0 $ o $ p \ge 3+ 2\sqrt2 $

Answer 1

1) El segundo método es erróneo por un error tonto.

2) El primer método es erróneo porque, además del discriminante, hay que tener en cuenta que hay restricciones en los valores de $ B $ y $ C $ y, por lo tanto, hay restricciones en $ tan C $ y $ tan B $ y, por lo tanto, hay restricciones en $ p $ .

Cuando ambos $B$ y $C$ son ángulos agudos, ambas raíces de las ecuaciones anteriores son positivas. por lo tanto $ p \gt 1 $ .

Cuando uno de ellos es obtuso, $$ \tan B \tan C \lt 0 . $$

así $$ p \lt 0 .$$

Esto con la intersección del discriminante no negativo, da la respuesta correcta.

Que dan el rango obtenido en la tercera respuesta.

Answer 2

Dejemos que $C\leq B$ y $B+C=\frac{3\pi}{4}$ .

i) Cuando $\frac{3\pi}{8}\leq B<\frac{\pi}{2}$ entonces $\frac{\pi}{4}<C\leq \frac{3\pi}{8}$ .

Definir $$f=\tan\ B\tan\ ( \frac{3\pi}{4}-B)$$ La gama de $f$ es $\{ \tan^2\frac{3\pi}{8} \leq t<\infty\}$ por (1) continuidad, (2) considerando $B\rightarrow \frac{\pi}{2},\ B\rightarrow \frac{3\pi}{8}$ y (3) \begin{align*} f' &=\frac{-\cos\ (2B-\frac{\pi}{4} ) }{\sqrt{2}\cos^2 B\sin^2 (B-\frac{\pi}{4}) } >0 \end{align*} cuando $\frac{3\pi}{8}<B$

ii) Cuando $\frac{\pi}{2} < B<\frac{3\pi}{4}$ entonces $ -\infty<\tan\ B<T<0$ para algunos $T$ . Y $0<\tan\ C<1$ para que el rango de $f$ contiene $\{-\infty < t<0\}$ .

Por lo tanto, hay que tener en cuenta que estos $B,\ C$ pueden ser ángulos de un triángulo de manera que $ \{ \tan^2\frac{3\pi}{8} \leq t<\infty\ {\rm or}\ -\infty<t<0\}$ .

Answer 3

Para $A,B,C$ los ángulos de un triángulo, no sólo será $A+B+C = \pi$ , pero también $0 \le A,B,C$ o estrictamente mayor que $0$ si se excluye el caso degenerado.

Por lo tanto, la formulación correcta del problema es $$ \left\{ \matrix{ A = \pi /4 \hfill \cr \tan B\tan C = p \hfill \cr A + B + C = \pi \hfill \cr 0 \le A,B,C \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ \tan B\tan C = p \hfill \cr B + C = 3\pi /4 \hfill \cr 0 \le B,C\left( { \le 3\pi /4} \right) \hfill \cr} \right. $$

Teniendo en cuenta esta restricción adicional, cualquiera que sea el enfoque que siga (correctamente) llegará a la solución única y correcta.

Por ejemplo, dado $A=\pi /4$ podemos partir del caso simétrico, triángulo isósceles $B=C=3 \pi /8$ y poner $$ \eqalign{ & \left\{ \matrix{ B = 3\pi /8 + D \hfill \cr C = 3\pi /8 - D \hfill \cr - 3\pi /8 \le D \le 3\pi /8 \hfill \cr \tan \left( {3\pi /8 + D} \right)\tan \left( {3\pi /8 - D} \right) = p \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ B = 3\pi /8 + D \hfill \cr C = 3\pi /8 - D \hfill \cr - 3\pi /8 \le D \le 3\pi /8 \hfill \cr t = \tan \left( {3\pi /8} \right) = \sqrt 2 + 1 \hfill \cr - t \le x = \tan D \le t \hfill \cr {{t^2 - x^2 } \over {1 - t^2 x^2 }} = p \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow \quad \left\{ \matrix{ t^2 = 3 + 2\sqrt 2 \hfill \cr 0 \le x^2 \le t^2 \hfill \cr p(x) = {{t^2 - x^2 } \over {1 - t^2 x^2 }} \hfill \cr} \right.\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad p \in \left[ {t^2 = 3 + 2\sqrt 2 , + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ,0} \right] \cr} $$

Answer 4

La razón por la que el primer método es erróneo :

Podemos reescribir la siguiente ecuación

$ f(x) = x^2 - (p-1)x + p $

Como sabemos la suma y el producto de $ \tan A $ y $ \tan B $

Ajustes discriminante mayor que igual a cero.

Parece que querías decir "la suma y el producto de $\color{red}{\tan C}$ y $\tan B$ ".

Considerando la condición de que el discriminante sea mayor o igual a cero es no es suficiente porque también tenemos que tener $0\lt B\lt \frac 34\pi$ .

Esto significa que tenemos que considerar la condición de que $f(x)=0$ tiene al menos una solución tal que $x\lt -1$ o $x\gt 0$ .

Por lo tanto, el primer método es erróneo.

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La razón por la que el segundo método es erróneo :

En la solución en Quora,

tan B + tan C = tanB tanC - 1

tanB+tan(3pi/4 - B) = p

Este paso es erróneo. Debería ser $$\tan B+\tan\left(\frac 34\pi-B\right)=\color{red}{p-1}$$ Entonces, obtenemos $$\tan^2B-(p-1)\tan B+p=0$$ Pero, de nuevo, de forma similar al 1er método, considerando la condición de que el discriminante sea mayor o igual a cero es no es suficiente porque también tenemos que tener $0\lt B\lt\frac 34\pi$ .

Por lo tanto, el segundo método es erróneo.

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Para que los dos métodos sean correctos, tenemos que considerar la condición de que $$x^2-(p-1)x+p=0$$ tiene al menos una solución tal que $x\lt -1$ o $x\gt 0$ .

Si se resuelve esto, se obtiene $$p\in (-\infty,0)\cup [3+2\sqrt 2,\infty)$$ que es la misma que la respuesta del tercer método.

Answer 5

Dejemos que $\tan\beta=t$ .

Así, $t\neq1$ Si no es así $\gamma=\frac{\pi}{2},$ que es imposible.

También, $$0<\beta<\frac{3\pi}{4},$$ que es $$0<\beta<\frac{\pi}{4}$$ o $$\frac{\pi}{4}<\beta<\frac{\pi}{2}$$ o $$\frac{\pi}{2}<\beta<\frac{3\pi}{4},$$ que es $$0<t<1$$ o $$t>1$$ o $$t<-1.$$

Consideremos tres casos.

1. $t>1$ .

Por AM-GM obtenemos: $$p=\tan\beta\tan\left(\frac{3\pi}{4}-\beta\right)=t\cdot\frac{-1-t}{1-t}=\frac{t^2+t}{t-1}=\frac{t^2+t-2+2}{t-1}=$$ $$=t+2+\frac{2}{t-1}=3+t-1+\frac{2}{t-1}\geq3+2\sqrt{(t-1)\cdot\frac{2}{t-1}}=3+2\sqrt2.$$ La igualdad se produce para $t-1=\frac{2}{t-1}$ y como $\lim\limits_{t\rightarrow1^+}p=+\infty$ y $p$ es una función continua en $(1,+\infty)$ Tenemos una gama de $p$ en este caso: $[3+2\sqrt2,+\infty).$

2. $0<t<1$ Obtenemos: $$p=-\frac{t(1+t)}{1-t}<0.$$ También, $$\lim\limits_{t\rightarrow1^-}p=-\infty,$$ $$\lim\limits_{t\rightarrow0^+}p=0$$ y $p$ es una función continua en $(0,1),$ que dice que el rango de $p$ en este caso es $(-\infty,0).$

3. $t<-1$ .

En este caso $p<0$ , $$\lim_{t\rightarrow-1^-}p=0,$$ $$\lim_{t\rightarrow-\infty}p=-\infty$$ y $p$ es una función continua en $(-\infty,-1).$

Así, la gama de $p$ en este caso es $(-\infty,0),$ que da la respuesta: $$(-\infty,0)\cup[3+2\sqrt2,+\infty).$$