Si $f(b)-f(a)=(b-a)f'(\frac{a+b}{2})$ demostrar que la función es un polinomio de grado $2$

Question

Considere la posibilidad de $f:\Bbb R \to \Bbb R$ a ser función derivable. $f(b)-f(a)=(b-a)f'(\frac{a+b}{2})$ para todos los $a,b \in \Bbb R$ demostrar que la función es un polinomio de grado $2$.

Estoy tratando de usar Taylor expansión que cualquier punto de $a$ hemos

$$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2f''(a)+\cdots$$.

entonces observé que la función no es infinitamente diferenciable. Por tanto, no podemos utilizar la Serie de Taylor. Así que, no creo que probar que el orden superior de la diferenciación desaparece también no ayuda. Podemos utilizar Lagrange valor medio teorema, pero ¿cómo proceder? Cualquier sugerencia!!

Answer 1

Usted se olvidó de estado $f$ es diferenciable.

Demostrar que $f$ es infinitamente derivable (sugerencia: use $f'(x)=\dfrac{f(x+y)-f(x-y)}{2y}$). La diferenciación de dos veces con respecto a $y$, la ecuación $$ f(x+y)-f(x-y)=2yf'(x)\quad\forall x,y $$ da $$ f"(x-y)=f"(x+y)\quad\forall x,y. $$ Por lo tanto $f''$ es una constante, por lo $f$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $2$.