La integral de $f(0.x_1 x_2 \cdots)= 0.\sigma(x_1)\sigma(x_2)\cdots$

Question

Dado $\sigma:\{0,1,2,\cdots,9\} \to\{0,1,2,\cdots,9\}$ ser un bijection.

Dado $f:[0,1]\to[0,1]$satisfactorio $$f(0.x_1 x_2 \cdots)= 0.\sigma(x_1)\sigma(x_2)\cdots$$ donde $0.x_1 x_2 \cdots$ es la expansión decimal de los números en $[0,1]$.

Tenga en cuenta que para la terminación de los decimales $x=0.x_1 x_2 \cdots x_m$, $f(x)=0.\sigma(x_1)\sigma(x_2)\cdots\sigma(x_m)$. Por ejemplo, $f(0.1)=0.\sigma(1)$ no $0.\sigma(0)\sigma(9)\sigma(9)\sigma(9)\cdots $).

Demostrar que $f$ es integrable y evaluar $\int_0^1f$.

Mi intento

Puedo mostrar que $f$ es integrable.

Dado un número irracional $\alpha=0.x_1x_2\cdots$, no es difícil mostrar $\forall M \in \mathbb{N}$ existe $N>M$ de tal manera que todos los números en $(\alpha-10^{-N},\alpha+10^{-N})$ tienen el mismo $M$ dígitos después del punto decimal. Esto da lugar a que $f$ es continua en todos los números irracionales y, por tanto, $f$ es integrable.

Pero, ¿cómo evaluar $\int_0^1 f$ ? Pensé que debe ser igual a $\int_0^1 x dx=\frac{1}{2}$, pero no puedo enfoque.

Cualquier sugerencias? Gracias de antemano!

Answer 1

Uso $$ \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^1\mathcal{L}(\{f>t\})\,\mathrm{d}t $$ donde $\mathcal{L}$ es lo habitual en la medida de Lebesgue, y tenga en cuenta que $\mathcal{L}(\{f>t\})$ es nonincreasing. Desde $\mathcal{L}(\{f>m\cdot 10^{-n}\})=1-m\cdot 10^{-n}$ para todos los $0\leq m<10^n$ ($f>m\cdot 10^{-n}$ prohíbe exactamente $m$ inicial posible expansión decimal $0.x_1x_2\dots x_n$), debemos tener $\mathcal{L}(\{f>t\})=1-t$ para todos los $t\in[0,1]$.

Answer 2

Respecto a$x_n$ como función de $x$. Entonces

• Cada una de las $x_n$ es integrable,
• $\int_{0}^{1} \sigma(x_n) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{10}\left(\sum_{d=0}^{9}d\right) = \int_{0}^{1} x_n \, \mathrm{d}x$, y
• $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^n}\sigma(x_n)$ converge uniformemente por el M de Weierstrass de la prueba.

Por lo que se deduce que

$$ \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^n} \int_{0}^{1} \sigma(x_n) \, \mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^n} \int_{0}^{1} x_n \, \mathrm{d}x = \int_{0}^{1} x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}. $$

Answer 3

Vamos a dar otra prueba de que sólo se basa en las sumas de Riemann.

Dividimos $[0,1]$ en la $10^N$ intervalos de $[(j-1)/10^N,j/10^N],\ j=1,\ldots,10^N.$ Desde $f(x)$ está dado por la aplicación de una permutación de $\{0,\ldots,9\}$ a los dígitos de la expansión decimal de $x$, podemos observar fácilmente que

$$\left\{k/10^N,k=0,\ldots,10^N\right\}=\left\{f(k/10^N),k=0,\ldots,10^N\right\}.$$

Por lo tanto,

$$\frac{1}{10^N}\sum_{k=1}^{10^N}f\left(\frac{k}{10^N}\right)=\frac{1}{10^N}\sum_{k=0}^{10^N}\frac{k}{10^N}-\frac{1}{10^N}f(0)=\frac{1}{2}-10^{-N}(f(0)+1/2).$$

El lado izquierdo es una suma de Riemann para $f$. Así que, tomando el límite cuando $N\rightarrow +\infty$, obtenemos que

$$\int_0^1f(x)dx=\frac{1}{2}.$$

Por supuesto, podemos, de hecho, tomar los límites, porque integrabilidad fue demostrado por la O. P. en el post.