Contraejemplo para la "imagen continua de cerrado y acotado es cerrado y acotado" (en la normativa de espacios).

Question

Es bien sabido que:

1. Si $X$ es finito-dimensional normativa espacio, $C$ es cerrado y acotado subconjunto de $X$ e $f:C\subset X\to X$ es continuo, $f(C)$ es cerrado y acotado.

2. Si $X$ es cualquier normativa espacio, $C$ es un subconjunto compacto de $X$ e $f:C\subset X\to X$ es continuo, $f(C)$ es compacto.

En el finito-dimensional caso, "pacto" es el mismo "cerrado y acotado". Por lo tanto, el Elemento 1 es un caso particular del Punto 2.

Pregunta:

El punto 2 no se sostiene con el "pacto" se sustituye por "cerrado y acotado", ¿verdad? ¿Qué son los estándares de contraejemplos? Más precisamente:

• ¿Qué es un ejemplo de un espacio de Banach $X$, una cerrada y delimitada subconjunto $C$ de $X$ y una función continua $f:C\subset X\to X$ tal que $f(C)$ es no acotado?

• ¿Qué es un ejemplo de un espacio de Banach $X$, una cerrada y delimitada subconjunto $C$ de $X$ y una función continua $f:C\subset X\to X$ tal que $f(C)$ no está cerrado?

Answer 1

Deje $X = \ell^2$, e $C$ un ortonormales. A continuación, $C$ es cerrado y acotado, pero es un conjunto discreto, de modo que cualquier función es continua. En particular, puede asignar de forma continua a una secuencia, que puede ser acotada o no cerrado.