Demostrando $\frac{S_n}{n^{1/p}} \to 0$ casi ciertamente implica $E|X_i|^p < \infty$

Question

La siguiente es una execise de Durrett: Probabilidad: Teoría y Ejemplos.

Deje $p>0$. Deje $X_i$ ser yo.yo.d variables aleatorias tales que $EX_i =0$, y definir $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$. Mostrar que si $\dfrac{S_n}{n^{1/p}}\to 0\,$ casi seguramente, a continuación, $E|X_i|^p < \infty$.

Él dice que es un ejercicio fácil así que me imagino que no es un simple truco.

Para empezar, sé que

$$E|X_i|^p = \int_0^\infty P(|X_i|^p > x)dx = \int_0^\infty P(|X_i| > x^{1/p}) dx \leq 1+ \sum_{n=1}^\infty P(|X_n|>n^{1/p})$$

que creo que podría ser útil. Yo también creo que un contrapositivo prueba podría ser mejor?

Supongamos $E|X_i|^p = \infty$. Entonces esto implica $\sum_{n=1}^\infty P(|X_n|>n^{1/p}) = \infty$. Desde la $X_i$'s son independientes, la segunda Borel-Cantelli lema nos dice:

$$P(|X_n|>n^{1/p} \quad i.o) = 1.$$

Y creo que esto implica $S_n/n^{1/p}$ no convergen a $0$, ya que por lo anterior implica $S_n/n^{1/p}>1$ infinitamente a menudo. Por lo tanto, dando el resultado por contrapositivo.

Realmente no estoy seguro con mi teoría de la probabilidad. Así que quiero comprobar mi razonamiento es correcto aquí.

Answer 1

Usted, de hecho, tengo la buena idea de mostrar el vínculo entre la integrabilidad de $\left\lvert X_1\right\rvert^p$ y el hecho de que $|X_n|>n^{1/p}$ infinitamente a menudo casi seguramente. Sin embargo, no es tan clara que implica que $S_n/n^{1/p}>1$, debido fundamentalmente a los valores absolutos. Sin embargo, $$ \frac{X_n}{n^{1/p}}=\frac{S_n}{n^{1/p}}-\frac{S_{n-1}}{(n-1)^{1/p}}\left(\frac{n-1}n\right)^{1/p} $$ por lo tanto $S_n/n^{1/p}\to 0$ casi ciertamente implica que el $X_n/n^{1/p}\to 0$ a.s., que termina el argumento.