área de un cuadrilátero! solo las áreas que dado!

Question

Encontrar el $$ar(CEF)+ar(FGB) =\;\;?$$

Realmente estoy pegado en esto ... pasar algunas horas... no lo a resolver y cómo proceder? Alguna sugerencia ? Sugerencias también funciona :)

Answer 1

Sugerencia: Tratar de mostrar que $S(ABCD) =8 \,S(FEH)$

Solución Completa:

Usted tiene $$ \vec{FH} = \frac12 \vec{FG} = \frac12 (\vec{BG} - \vec{BF}) = \frac14 (\vec{BA} - \vec{BC})$$ $$ \vec{FE} = \vec{FC} + \vec{CE} = \frac12\vec{BC} + \frac12\vec{CD} = \frac12\vec{BD}$$ así $$ S(FEH) = \frac12|\vec{FE}\times\vec{FH}| = \frac{1}{16}|\vec{BD}\times(\vec{BA} - \vec{BC})| $$ También tenemos $$ S(ABCD) = S(BCD)+S(BDA) = \frac12|\vec{BC}\times\vec{BD}|+ \frac12|\vec{BD}\times\vec{BA}| = \frac12|\vec{BD}\times(\vec{BA}-\vec{BC})|$$ Por lo $$S(ABCD) =8 \,S(FEH) = 64$$ Por lo tanto $$ S(CEF) + S(FGB) = S(ABCD) - S(AGHED) - S(HFE) = 64 - 36 -8 = 20$$

Answer 2

Geometría analítica para el rescate?

Tenemos $\triangle GHE=\triangle FHE$, por lo que podemos reescribir los datos como $$ \triangle EFG=16 \qquad \Box ADEG=28 $$ y olvidarse de $H$ completamente.

La próxima quiero seleccionar un no-sistema de coordenadas rectangulares con $G$ a $(0,0)$, $E$ a $(-1,0)$ e $D$ a $(0,-1)$. Las coordenadas de todo lo que ahora se convierten en simples funciones lineales de, digamos, $x_A$ e $y_A$, y la resolución de $$ \frac{\triangle EFG}{\Box ADEG} = \frac{y_F}{1+x_A} = \frac{16}{28} $$ (donde la media de la fracción de reescribe ambas áreas en unidades de $\triangle EGC$ que es la mitad del paralelogramo fundamental del sistema de coordenadas) nos da una línea que $A$ debe acostarse.

Ahora podemos calcular el área de $\triangle CEF + \triangle FGB$ para un punto arbitrario en esa línea (en la misma ad-hoc unidades). Esperemos que se convierte en una constante en varios de $y_F$ que sabemos para representar el área de $16$.

Answer 3

Hacer las etiquetas, como se indica en la figura:

$\hspace{3cm}$

Nota: $$\begin{align}&\text{1) $JE$ is the middle line of $\Delta ACD$ and $JE||AC$.}\\ &\text{2) $FG$ es la línea media de $\Delta ABC$$FG||AC$.} \\ &\text{3) 1) y 2) implican $JE||FG$} \\ &\text{4) del mismo modo, $FE||GJ$, por lo tanto $EFGJ$ es un paralelogramo, cuya área es de $32$ (por qué?)}\\ &\text{5) $S_{ACD}=4S_{DEJ}$, $S_{ABD}=4S_{AGJ}$,$S_{ABC}=4S_{BFG}$,$S_{BCD}=4S_{CEF}$}\\ &\text{6) $S_{ABCD}=\frac12(S_{ACD}+S_{ABD}+S_{ABC}+S_{BCD})=2(\underbrace{S_{DEJ}+S_{AGJ}}_{12}+S_{BFG}+S_{CEF})$}\\ &\text{7) $S_{BFG}+S_{CEF}=S_{ABCD}-44=2(12+S_{BFG}+S_{CEF})-44\Rightarrow S_{BFG}+S_{CEF}=20.$}\\ \end{align}$$

Answer 4

En cualquier cuadrángulo $Q$ los puntos medios de los cuatro bordes forman un paralelogramo $P$ cuya área es de ${1\over2}{\rm area}(Q)$, y los cuatro exteriores triángulos en la otra mitad de la ${\rm area}(Q)$. En el caso de ${1\over4}{\rm area}(P)=8$, por lo que $P$ así como el exterior de cuatro triángulos juntos tenemos el área de $32$. El cuadrángulo $AGED$ en la cifra de área $36-8=28$. Este cuadrángulo consiste en la izquierda dos exteriores triángulos y media de $P$. Estos triángulos juntos, a continuación, tenga en $28-{1\over2}{\rm area}(P)=12$, por lo que el derecho exterior dos triángulos juntos tenemos el área de $32-12=20$.