¿Por qué es $T: C^\infty(\mathbb{R}) \ni f \mapsto (a_n) = (f^{(n)}(0)) \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ surjective?

Question

Estoy leyendo "Álgebra Lineal" por Takeshi Saito.

Deje $f \in C^\infty(\mathbb{R})$.
Deje $T$ ser una asignación tal que $T: C^\infty(\mathbb{R}) \ni f \mapsto (a_n) = (f^{(n)}(0)) \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$.

$C^\infty(\mathbb{R})$ e $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ son espacios lineales.
$T$ es un mapeo lineal.

En este libro, el autor dice que $T$ es surjective sin una prueba.

¿Por qué es $T$ surjective?

Answer 1

El enfoque de @Monadologie funciona si se corta la polinomios con suficiente antelación. Esta es la prueba presentada en la Wikipedia para Borel el lema de una vista de pájaro