¿Es el círculo homeomórfico a un$6$ pétalo de rosa?

Question

Estoy tratando de explicar que un círculo es homeomórficos a un $6$con pétalos de rosa con el estándar de la topología de $\mathbb R^2$, para que voy a tener que explicar (sólo en palabras, no es necesario encontrar una fórmula) la homeomórficos función que se asigna a uno en la otra.

Así que, empezando desde el centro de la rosa, una serie de continuos cambios pueden empezar a empujar a los vecinos de los puntos de la rosa de la frontera del círculo, en el final de cada punto debe ser en igualdad de $r$ distancia desde el centro de la rosa. Lo mismo se aplica a la inversa, comenzando con seis equidistancia de los puntos en la circunferencia, una serie de continua chanages debe empujar a su neighboing puntos siguiendo la trayectoria de los pétalos en el centro de la flor. El mapa y la inversa debe ser continua porque arbitraria abrir la bola de un radio determinado, en una sola figura, se debe asignar a otro abierto pelota de un radio determinado, en el otro. El problema está en el centro de la flor donde los puntos convergen, no hay simil conjunto abierto en el círculo, ¿eso significa que no hay bijection relación entre sus topologías?, a pesar de que ambos comparten el mismo. Es la bola en el centro de la flor diferente de los otros?, así que a pesar de que el y su inversa son continuos, no es homeomórficos?, o la función no es continua?. Estoy atascado y no puede encontrar un explanaition que tiene sentido, por lo que cualquier visión sería muy apreciada.

Saludos

Answer 1

No son homeomorfa. Si quitas el centro de la rosa, lo que queda se desconecta. Sin embargo, si elimina un punto de un círculo, lo que queda permanece conectado.

Answer 2

Otros brillantes comentaristas han demostrado que no son homeomórficos. Quería añadir a esta mostrando una función continua $f: \mathcal{S}^1 \to \Bbb{R}^2$ que se asigna al círculo de seis pétalos de la flor: $$f(\theta) = (|\sin (3\theta)|, \theta)$$ Donde $\theta$ especifica un punto en el círculo de una manera continua (por ejemplo, en una $\Bbb{R}^2$ configuración, podría ser el ángulo en coordenadas polares). La función de las salidas del punto en coordenadas polares.

Una interpretación interesante de lo anterior es, por restringir el mapa en sólo su salida en el avión (convirtiéndola en una surjection), que este es un cociente de mapa. En particular, este mapa se genera un espacio donde los seis puntos en el círculo pertenecen a la misma clase de equivalencia, mientras que los otros mantienen su topología intacta, es decir, de seis pétalos de la flor.

Answer 3

En realidad no es cierto, porque si quitas el centro de la rosa, divides la rosa en 6 partes (componentes conectados), mientras que si eliminas un punto del círculo, solo tienes 1 parte.