¿Es el anillo$R$ un anillo topológico con respecto a la siguiente topología?

Question

De fondo

Esta pregunta está motivada por intentar responder a esta pregunta. Pero antes de entrar en la cuestión recta permítanme darles algunos antecedentes.

Definición 1. Deje $R$ ser un anillo y $A$ a ser un ideal de a$R$. Deje $\mathcal{T}_A$ denota el conjunto de todos los semiprime ideales de $R$ contiene $A$. A Continuación, $$\beta(A):=\bigcap_{Q\in \mathcal{T}_A}A$$ called the prime radical of $$.

Vamos ahora a hacer la siguiente definición,

Definición 2. Deje $R$ ser un anillo y $A\subseteq R$. Deje $\mathcal{T}_A$ denota el conjunto de todos los semiprime ideales de $R$ contiene $A$. A continuación, $$\eta(A):=\bigcap_{Q\in \mathcal{T}_A}A$$ we call $\eta(A)$ to be the prime radical of $$ in $R$.

Ahora tenga en cuenta la siguiente,

Teorema 1. Deje $R$ ser un anillo y $A\subseteq R$. Deje $\mathscr{P}(R)$ denotar el poder conjunto de $R$. Definir, $\Phi:\mathscr{P}(R)\to \mathscr{P}(R)$ , $$\Phi(A)=\eta(A)$$a Continuación,

• $A\subseteq \Phi(A)$ para todos los $A\in \mathscr{P}(R)$

• $A\subseteq B\implies \Phi(A)\subseteq \Phi(B)$ para todos los $A,B\in \mathscr{P}(R)$

• $\Phi(\Phi(A))=\Phi(A)$ para todos los $A\in \mathscr{P}(R)$

Cada una de las propiedades se sigue inmediatamente de la Definición 2. En consecuencia, pretendemos que el operador $\Phi$ es un cierre operador en $R$. Así, se genera una topología en $R$. Denotar este espacio topológico por $(R,\tau)$ y llamar a este espacio (por el momento) el primer espacio radical de $R$, la topología de ser el primer radical de la topología en $R$.

Pregunta

Es $(R,+,\cdot)$ topológico, anillo con respecto al primer radical de la topología?

Estoy interesado en este asunto, porque si la respuesta a esta pregunta es afirmativa, entonces la respuesta de MO post enlazado anteriormente parece ser afirmativo de , al menos, para esta topología en $R$.

Answer 1

Pregunta

Es $(R,+,\cdot)$ topológico, anillo con respecto al primer radical de la topología?

Respuesta

No es cierto que $(R,+,\cdot)$ es siempre un topológico anillo con respecto al primer radical de la topología. No damos ningún tipo específico de contraejemplo, pero en lugar de señalar un camino para la construcción de un contraejemplo. La construcción de un explícito contraejemplo se deja para el lector interesado.

Teorema 1. Deje $(R,+,\cdot)$ ser un anillo tal que $x^n\ne x$ para todos los $n\in \mathbb{N}\setminus\{0,1\}$ y para todos los no-cero, la no-identidad $x\in R$. Equipar $R$ con el primer radical de la topología. Si $(R,+,\cdot)$ es topológico, anillo con respecto al primer radical de la topología, a continuación, el primer espacio radical de $R$ es de Hausdorff.

Prueba. Desde $(R,+,\cdot)$ es topológico, de anillo, de ello se sigue que $(R,+)$ es un grupo topológico bajo la misma topología. Desde una $T_0$-topológico grupo es Hausdorff, es suficiente para mostrar que el primer espacio radical de $R$ es $T_0$.

Para este propósito vamos a $x,y\in R$ tal que $x\ne y$. A continuación, considere la posibilidad de la $m$-sistemas de $\mathscr{N}(x):=\{x,x^2,\ldots,x^n\}$ e $\mathscr{N}(y):=\{y,y^2,\ldots,y^n\}$. Tenga en cuenta que tanto $\mathscr{N}(x)$ e $\mathscr{N}(y)$ están abiertos.

Si bien $x=0$ entonces $\mathscr{N}(y)$ es un conjunto abierto que contiene a$y$ pero no $0$ y estamos hecho en este caso. Similar será el argumento de si $y=0$.

Por lo que asumimos que $x,y\ne 0$. Si $y=x^n$ para algunos $n\in \mathbb{N}$ , a continuación, tenga en cuenta que $n>1$ y que $y\ne 1$. Ahora consideremos $\mathscr{N}(y)$. Observe que $y\in\mathscr{N}(y)$ pero $x\notin \mathscr{N}(y)$ por nuestra hipótesis. De lo contrario, si $x^n\ne y$ para todos los $n\in \mathbb{N}$ luego de ello se sigue que $x\in \mathscr{N}(x)$ pero $y\notin \mathscr{N}(x)$.

Así que hemos terminado.

Teorema 2. El primer espacio radical de un trivial $R$ siempre es no-$T_1$.

Prueba. Es suficiente para demostrar que no existe un singleton conjunto en $R$ que no está cerrado. Pero esto es fácil, ya que

• Los conjuntos cerrados de la primer espacio radical de $R$ son precisamente los semiprime ideales de $R$.

• $R$ es trivial.

• No singleton subconjunto de $R\setminus\{0\}$ es un ideal de a$R$.

Así que hemos terminado.