¿Por qué obtengo dos respuestas diferentes al resolver arclength?

Question

Me dan ese $\frac{dx}{dt}=8t\cos(t)$ y $\frac{dy}{dt}=8t\sin(t)$ . Intenté resolver para la longitud del arco de $t=0$ a $t=1.$

Método 1: $$\text{Arclength} = \int_{0}^{1} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dx = 4.$ $

Método 2:

$$\text{Arclength} = \int_{0}^{1} \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx.$$ However, when I solve using method 2, I get $ 1.22619,$ when the answer should be $ 4. $ ¿Qué está causando esta diferencia?

Answer 1

La segunda fórmula se aplica cuando usted ve $y$ como una función de la $x$; usted no dice cómo se encuentra $dy/dx$.

Jugando un poco floja con los diferenciales, tenemos $$ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{8t\sen t}{8t\cos t}=\bronceado t. $$ Entonces $$ \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx} \right)^2}\,dx=\sqrt{1+\tan ^2 t}\ \,dx=\frac1{\cos t}\,dx =\frac1{\cos t}\,8\,cos t\,dt=8t\,dt. $$ Así que su segunda integral es (ahora son los límites en $t$, tenga en cuenta que no podemos saber fácilmente los límites de $x$) $$ \int_0^18t\,dt = 4. $$

Answer 2

Su primer método requiere un cambio. (Es $dt$ no $dx$ )

PS

Ahora, para el segundo método.

En realidad es una equivalencia de la primera. Se puede deducir así.

PS

Así, el segundo método también da 4 .

Answer 3

El segundo método también debe darle la respuesta correcta.

Tenga en cuenta que $$ \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx =\sqrt {1+\tan^2(t)}(8t\cos(t))dt$ $

entonces la longitud del arco es $$\int _0^1 \sqrt {1+\tan^2(t)}(8t\cos(t))dt = \int _0^1 8tdt=4$ $