Evaluar

Question

La evaluación de $$\int_0^\infty \left( \frac{x}{e^x-e^{-x}}-\frac{1}{2} \right) \frac{dx}{x^2}$$

Traté de calcular por Mathematica, pero no pudo darme una respuesta.

Después me interesé en este problema, ya que en realidad puede ser bien evaluado.

Mi intento

Poner $$ g(x)=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}e^{-x}\right) $$

Teniendo en cuenta que $$ \left( \frac{x}{e^x-e^{-x}}-\frac{1}{2} \right) \frac{1}{x^2} = -\frac{1}{2x}\left(e^{-x}-e^{-2}\right) + g(x)-2g(2x) $$

y $$ \int_0^\infty g(x) dx = 2 \int_0^\infty g(2x) dx $$

así, a través de Frullani integral tenemos $$ \int_0^\infty \left( \frac{x}{e^x-e^{-x}}-\frac{1}{2} \right) \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{1}{x}\left(e^{-x}-e^{-2}\right) =-\frac{1}{2} \log 2 $$

Pero estoy a la espera de otros enfoques, porque este método no parece muy natural. Y yo muy agradecidos si usted podría compartir alguna idea sobre cómo resolver este problema. Gracias de antemano!

Answer 1

Esta integral es $$ \frac{1}{4}\int_{-\infty}^\infty \frac{x\,\mathrm{csch}(x)-1}{x^2}dx $$ Esta función es analítica en $\mathbb R$, pero $\mathrm{csch}$ , todavía tiene un número infinito de polos en $\mathbb C$ a $i\pi \mathbb Z$. El residuo en cada uno de estos polos es $(-1)^n/(in\pi)$, por lo que haciendo el estándar de contorno alrededor de la mitad superior del plano-da $$ \frac{1}{4}\int_{-\infty}^\infty \frac{x\,\mathrm{csch}(x)-1}{x^2}dx = \frac{2\pi i}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n} {\pi} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} = -\frac{1}{2}\ln(2). $$ (Esto es ciertamente más difícil de lo que me hizo ser como el error de estimación en el contorno de la necesidad de hacer más cuidado que en el caso habitual, pero no es demasiado difícil de averiguar.)