Probabilidad condicional: la suma de los dados es incluso dado que al menos uno es un cinco

Question

Pregunta:

Calcule la probabilidad condicional de que la suma de dos lanzamientos de dados sea uniforme dado que al menos uno de los lanzamientos da un cinco.

Estoy un poco confundido por esto. ¿No debería la probabilidad simplemente ser 1/2, ya que sabemos que al menos uno de los lanzamientos de dados nos dio un cinco, por lo que el otro debe darnos un número impar?

Answer 1

Un evento = cuando uno de los sorteos da un cinco. (Espacio de muestra para la probabilidad condicional) Sea (n1, n2) los resultados de die1 y die2 A = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5 , 5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)} // (5,5) deben ser contados por una sola vez

Así n (A) = 11

B = la suma de dos tiradas de dados es n (B | A) = {(1,5), (3,5), (5,5), (5,1), (5,3) |

P (B | A) = n (B | A) / n (A) = 5/11

Answer 2

Por El Teorema De Bayes, $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Deje $A$ ser el caso de los dos rollos de añadir a un número par y dejar que $B$ ser el caso de balanceo de al menos un cinco.

Tenga en cuenta que $A \cap B$ = el caso de los dos rollos de añadir a un número par Y rodar al menos un cinco. Ahora tenemos que encontrar la $P(A \cap B)$ e $P(B)$:

Hay tres maneras en las que podemos rodar al menos un cinco.

1) sacas un cinco en el primer rollo, pero no el segundo. La probabilidad de esto es $(1/6)*(5/6) = 5/36.$

2) No hacer rodar un cinco en el primer rollo, pero rodando un cinco en el segundo: la Probabilidad de esto es $(5/6)*(1/6) = 5/36.$

3) O usted puede rodar dos cincos: Probabilidad de $= (1/6)*(1/6) = 1/36.$

Estos tres eventos son distintos, así que para encontrar la probabilidad de obtener los $\textit{at least}$ uno de los cinco, les agregamos: $5/36 + 5/36 + 1/36 = 11/36$.

Ahora para calcular el $P(A \cap B)$: Si sacas dos cincos, la suma es par. De lo contrario, el rollo de que no es un cinco debe ser un número impar (IMPAR + IMPAR = IMPAR). En cada uno de los casos 2) y 3), el único otro rollos que darle un suma son la 1 y la 3. Eso es un total de 5 escenarios de un máximo de 36. Por Lo $P(A \cap B) = 5/36.$ Finalmente,

$$P(A|B) = \frac{5/36}{11/36} = \frac{5}{11}.$$

Answer 3

Como se sugirió anteriormente, la información de Bayes th. también pueden ayudar:

Deje $S$ ser el caso de que la suma es par, y $A5$ el caso de que al menos uno de los $5$ se muestra, y $S^c$ es el evento de que la suma es impar.

A continuación, $$P(S|A5) = \frac{P(A5|S)P(S)}{P(A5|S)P(S)+P(A5|S^c)P(S^c)} $$

$P(S)=P(S^c)=0.5$, $P(A5|S)= 5/18$, ya que hay $5$ en $A5$ incluso para la suma. También, $P(A5|S^c)= 6/18$ cuando la suma es impar.

Por lo tanto, $P(S|A5) = 5/11$.

Answer 4

Si el muere eran de color, dicen que el rojo y el azul, le preguntamos a la pregunta, ¿cuál es probabilidad de que la suma es par, dado que el dado rojo, saca un cinco, que es $1/2$. Pero, ya ves, ya sea rojo o el azul morir podría rodar un cinco. Así, su espacio muestral es ligeramente más grande.

Fix $X_{i}$ a ser la variable aleatoria que representa el número de die $i$, $i=1,2$. Podría hacer un bonito árbol de pensar en los posibles resultados de este experimento y el número de ellos.

(1) Cuando el primer dado es lanzado, hay tres posibilidades - $X_{1}=5$, $X_{1}=1 \cup X_{1}=3$, $X_{1}\text{ is even}$.

$P(X_{1}=5)=1/6$.

$P(X_{1}=1 \cup X_{1}=3)=1/3$.

$P(X_{1} \text{ is even})=1/2$.

(2) El segundo morir es ahora laminados, de nuevo tiene tres posibilidades de cada uno - $X_{2}=5$, $X_{2}=1 \cup X_{2}=3$, $X_{2}\text{ is even}$. Por lo tanto, tenemos $3 \times 3=9$ ramas.

$P(X_{1}=5 \cap X_{2}=5)=1/6 \times 1/6=1/36$.

$P(X_{1}=5 \cap (X_{2}=1 \cup X_{2}=3))=1/6 \times 1/3=2/36$.

$P(X_{1}=5 \cap X_{2}\text{ is even})=1/6 \times 1/2=3/36$.

$P((X_{1}=1 \cup X_{1}=3) \cap X_{2}=5)=1/3 \times 1/6 = 2/36$.

$P((X_{1}=1 \cup X_{1}=3) \cap (X_{2}=1 \cup X_{2}=3))=1/3 \times 1/3 = 4/36$.

$P((X_{1}=1 \cup X_{1}=3) \cap X_{2}\text{ is even})=1/3 \times 1/2 = 6/36$.

$P(X_{1} \text{ is even} \cap X_{2}=5)=1/2 \times 1/6 = 3/36$.

$P(X_{1} \text{ is even} \cap (X_{2}=1 \cup X_{2}=3))=1/2 \times 1/3 = 6/36$.

$P(X_{1} \text{ is even} \cap X_{2}\text{ is even})=1/2 \times 1/2 = 9/36$.

El recuento de los resultados donde la suma es par y al menos uno de los rollos es de 5, el numerador $1/36+2/36+2/36=5/36$.

Restringir nuestra atención a los acontecimientos, donde al menos uno de los rollos es de 5, el denominador = $1/36+2/36+3/36+2/36+3/36=11/36$.

Así, la probabilidad es $5/11 < 1/2$.

Answer 5

Depende de cómo se enteró de que al menos uno de los dados es 5.

Está usted familiarizado con el juego de los niños Adivinen Quién? Dado un conjunto de 24 caracteres, usted tiene que adivinar cuál es el mío por preguntas sí/no. Supongamos que usted me pregunta "¿su persona tiene gafas?" Y yo respondo que sí. Dado que la mayoría de los personajes no tienen gafas, hay una gran cantidad de información en mi respuesta. De 24 caracteres, solo 6 restantes.

Es un principio similar con los dados. Si usted pregunta, "es al menos uno de ellos de 5", y yo respondo que sí, tendrás que eliminar a 25 posibilidades y dejar 11. Mientras que el original de 36 posibilidades de tener una igualdad en la distribución de probabilidades e iguala, los 11 restantes no.

Con una pregunta, has aprendido algo sobre el resultado de tirar los dados. Usted ha limitado las posibilidades, y llegado un poco más cerca de saber con seguridad si la suma es par.

Si no preguntar acerca de un número en particular, pero yo miraba a uno de los dados y dijo: "al menos uno de ellos es X", entonces yo no he dado ninguna información. Aún no sé la respuesta a mí mismo, ya que sólo se veía en uno de los dados. En ese caso, la respuesta es 1/2.