Área bajo la curva - Integrales (Antiderivadas)

Question

Tengo una pregunta sobre antiderivadas y el área bajo la curva.

He aprendido que primero, debes hacer un gráfico para ver si el área está arriba o abajo de la curva. Si está arriba del eje $x$, el área es "positiva" y debo usar $A=\int f(x) dx$. Si está debajo del eje $x$, el área es "negativa" y debo usar $A=-\int f(x) dx$. En este último, he entendido que el negativo fuera de la integral es porque la integración por sí sola sería negativa porque está debajo del eje $x$, pero un área no puede ser negativa, por eso se multiplica por ese negativo. También he visto esto con el valor absoluto $A=|\int f(x) dx|$ que creo que tiene el mismo propósito.

Este es un ejemplo de un ejercicio:

Determina el área de la región delimitada por la curva de la función $f(x)=4x^3-16x$, el eje $x$ y las rectas $x=-2$ y $x=2$.

Está bien. Te mostraré mi trabajo.

Primero hago el gráfico.

Veo que entre $-2$ y $0$ la región delimitada está arriba del eje $x$, así que es positiva, y que entre $0$ y $2$ la región delimitada está debajo del eje $x$, así que es negativa. Así que llamaré a la primera $A_1$ y a la segunda $A_2$.

$$A_{total}=\int_{-2}^2 (4x^3-16x) dx$$ $$A_{total}=A_1+A_2$$ $$A_{total}=\int_{-2}^0 f(x) dx+(-\int_0^2 f(x) dx)$$ $$A_{total}=\int_{-2}^0 (4x^3-16x) dx+(-\int_0^2 (4x^3-16x) dx)$$ $$A_{total}=[\frac{4x^4}{4}-\frac{16x^2}{2}]|^{0}_{-2} - [\frac{4x^4}{4}-\frac{16x^2}{2}]|^{2}_{0}$$ $$A_{total}=[x^4-8x^2]|^{0}_{-2} - [x^4-8x^2]|^{2}_{0}$$ $$A_{total}=[((0)^4-8(0)^2)-((-2)^4-8(-2)^2)]-[((2)^4-8(2)^2)-((0)^4-8(0)^2)]$$ $$A_{total}=[-(16-32)]-[16-32]$$ $$A_{total}=[-(-16)]-[-16]$$ $$A_{total}=16+16$$ $$A_{total}=32u^2$$

Entonces obtuve que el área total es de 32 unidades cuadradas. Pero me preguntaba por qué esto es diferente de hacer la integración de $\int_{-2}^2 (4x^3-16x) dx$. Esto da $0$.

$$\int_{-2}^2 (4x^3-16x) dx$$ $$=[\frac{4x^4}{4}-\frac{16x^2}{2}]|^{2}_{-2}$$ $$=[x^4-8x^2]|^{2}_{-2}$$ $$=[(2)^4-8(2)^2]-[(-2)^4-8(-2)^2]$$ $$=[16-32]-[16-32]$$ $$=-16-[-16]$$ $$=-16+16$$ $$=0$$

Así que estoy un poco confundido. ¿Cuál es el correcto?

Por favor ayuda.

Answer 1

Bien, aquí está la causa de tu confusión: el significado de la palabra "área" depende del contexto del problema. De hecho, tu cálculo

$$\int_{-2}^{2} (4x^3-16x)\,dx = 0$$

es correcto. (Un atajo es darse cuenta de que estás integrando una función impar sobre un dominio que es simétrico respecto al origen). Sin embargo, en esta pregunta en particular, el "área entre las curvas y el eje x" realmente significa calcular

$$\int_{-2}^{2} |4x^3-16x| \,dx$$

Entonces sí, en el sentido geométrico, el área generalmente debe ser positiva. Pero al evaluar integrales definidas, a veces pensamos en el área sobre el eje x como "área positiva" y el área debajo del eje x como "área negativa".

Respecto a obtener la respuesta a tu problema, utiliza la simetría para facilitarte la vida:

$$\int_{-2}^{2} |4x^3-16x|\,dx = 2 \cdot \int_{-2}^{0} (4x^3-16x)\,dx = 2 \big[x^4 - 8x^2\big] \big|_{-2}^{0} = 32.$$

Answer 2

En tales casos, debes crear los intervalos parciales e integrar sobre ellos.

La integral, sin considerar si la función es negativa o positiva, cuenta las áreas por encima del eje $x$ como positivas y las áreas por debajo del eje $x$ como negativas.

Por lo tanto, la solución $0$ no es correcta (de todas formas, el área $0$ no puede ser el resultado aquí).

Necesitas las raíces de la función para encontrar los intervalos necesarios, exactamente lo que hiciste en el primer enfoque (correcto).

Answer 3

En tu primer enfoque, estás tomando el valor absoluto de las "áreas firmadas" (por lo que las áreas serán positivas ya sea arriba o abajo del eje $x$). Por lo tanto, $A_1 = \vert 16\vert = 16$ y $A_2 = \vert -16\vert = 16$, entonces $A_1+A_2 = 32$.

Cuando se toma la integral definida, se toman en cuenta los signos, por lo que $A_1 = 16$ mientras que $A_2 = -16$, lo que significa que $\int_{-2}^2 f(x)dx = 0$. (Las áreas arriba y abajo del eje $x$son iguales y se cancelan.)

El primer enfoque es correcto porque la pregunta busca el área delimitada por $f(x)$ y el eje $x$ (en cuyo caso, un área no positiva no tiene sentido), no la integral definida de $f(x)$ entre $-2$ y $2$.