Área bajo la curva - Integrales (Antiderivadas)

Question

Tengo una pregunta sobre antiderivadas y área bajo la curva.

He aprendido que primero debo hacer un gráfico para ver si el área está arriba o abajo de la curva. Si está arriba del eje $x$, el área es "positiva" y debo usar $A=\int f(x) dx $. Si está abajo del eje $x$, el área es "negativa" y debo usar $A=-\int f(x) dx $. En este último caso, entendí que el negativo fuera de la integral es porque la integración sola será negativa al estar debajo del eje $x$, pero un área no puede ser negativa, por eso se multiplica por ese negativo. También he visto esto con el valor absoluto $A=|\int f(x) dx| $, que creo que tiene el mismo propósito.

Este es un ejemplo de un ejercicio:

Determina el área de la región delimitada por la curva de la función $f(x)=4x^3-16x$, el eje $x$ y las rectas $x=-2$ y $x=2$.

Ok. Te mostraré mi trabajo.

Primero hago el gráfico.

Veo que entre $-2$ y $0$, la región delimitada está por encima del eje $x$, por lo que es positiva, y que entre $0$ y $2$, la región delimitada está por debajo del eje $x$, por lo que es negativa. Así que llamaré a la primera $A_1$ y a la segunda $A_2$.

$$A_{total}=\int_{-2}^2 (4x^3-16x) dx$$ $$A_{total}=A_1+A_2$$ $$A_{total}=\int_{-2}^0 f(x) dx+(-\int_0^2 f(x) dx)$$ $$A_{total}=\int_{-2}^0 (4x^3-16x) dx+(-\int_0^2 (4x^3-16x) dx)$$ $$A_{total}=[\frac{4x^4}{4}-\frac{16x^2}{2}]|^{0}_{-2} - [\frac{4x^4}{4}-\frac{16x^2}{2}]|^{2}_{0} $$ $$A_{total}=[x^4-8x^2]|^{0}_{-2} - [x^4-8x^2]|^{2}_{0} $$ $$A_{total}=[((0)^4-8(0)^2)-((-2)^4-8(-2)^2)]-[((2)^4-8(2)^2)-((0)^4-8(0)^2)]$$ $$A_{total}=[-(16-32)]-[16-32]$$ $$A_{total}=[-(-16)]-[-16]$$ $$A_{total}=16+16$$ $$A_{total}=32u^2$$

Así que obtuve que el área total es de 32 unidades cuadradas. Pero me preguntaba por qué esto es diferente de hacer la integración de $\int_{-2}^2 (4x^3-16x) dx$. Esto da $0$.

$$\int_{-2}^2 (4x^3-16x) dx$$ $$=[\frac{4x^4}{4}-\frac{16x^2}{2}]|^{2}_{-2}$$ $$=[x^4-8x^2]|^{2}_{-2}$$ $$=[(2)^4-8(2)^2]-[(-2)^4-8(-2)^2]$$ $$=[16-32]-[16-32]$$ $$=-16-[-16]$$ $$=-16+16$$ $$=0$$

Así que estoy un poco confundido. ¿Cuál es el correcto?

Por favor ayuda.

Answer 1

Entonces, aquí está la causa de tu confusión: el significado de la palabra "área" depende del contexto del problema. De hecho, tu cálculo

$$\int_{-2}^{2} (4x^3-16x)\,dx = 0$$

es correcto. (Un atajo es darse cuenta de que estás integrando una función impar sobre un dominio simétrico respecto al origen). Sin embargo, en esta pregunta en particular, el "área entre las curvas y el eje x" realmente significa calcular

$$\int_{-2}^{2} |4x^3-16x| \,dx$$

Entonces, sí, en sentido geométrico, el área generalmente debe ser positiva. Pero al evaluar integrales definidas, a veces pensamos en el área sobre el eje x como "área positiva" y el área por debajo del eje x como "área negativa".

En cuanto a obtener la respuesta a tu problema, utiliza la simetría para facilitarte la vida:

$$\int_{-2}^{2} |4x^3-16x|\,dx = 2 \cdot \int_{-2}^{0} (4x^3-16x)\,dx = 2 \big[x^4 - 8x^2\big] \big|_{-2}^{0} = 32.$$

Answer 2

En tales casos, debes crear los intervalos parciales e integrar sobre ellos.

La integral sin considerar si la función es negativa o positiva cuenta las áreas sobre el eje $x$ como positivas y las áreas debajo del eje $x$ como negativas.

Por lo tanto, la solución $0$ no es correcta (de todas formas, el área $0$ no puede ser el resultado aquí).

Necesitas las raíces de la función para encontrar los intervalos necesarios, exactamente lo que hiciste en el primer enfoque (correcto).

Answer 3

En tu primer enfoque, estás tomando el valor absoluto de las "áreas firmadas" (por lo que las áreas serán positivas ya sea arriba o debajo del eje $x$). Por lo tanto, $A_1 = \vert 16\vert = 16$ y $A_2 = \vert -16\vert = 16$, entonces $A_1+A_2 = 32$.

Cuando se toma la integral definida, se están teniendo en cuenta los signos, por lo que $A_1 = 16$ mientras que $A_2 = -16$, lo que significa que $\int_{-2}^2 f(x)dx = 0$. (Las áreas arriba y debajo del eje $x$ son iguales y se cancelan entre sí.)

El primer enfoque es correcto porque la pregunta está pidiendo el área delimitada por $f(x)$ y el eje $x$ (en cuyo caso, un área no positiva no tiene sentido), no la integral definida de $f(x)$ entre $-2$ y $2$.