Tengo una pregunta sobre antiderivadas y área bajo la curva.
He aprendido que primero, debes hacer un gráfico para ver si el área está arriba o abajo de la curva. Si está arriba del eje $x$ el área es "positiva" y debo usar $A=\int f(x) dx $. Si está debajo del eje $x$ el área es "negativa" y debo usar $A=-\int f(x) dx $. En este último caso, entiendo que el negativo fuera de la integral es porque la integración sola será negativa porque está debajo del eje $x$, pero un área no puede ser negativa, por eso se multiplica por ese negativo. También he visto esto con el valor absoluto $A=|\int f(x) dx| $ que creo que tiene el mismo propósito.
Este es un ejemplo de un ejercicio:
Determina el área de la región delimitada por la curva de la función $f(x)=4x^3-16x$, el eje $x$ y las rectas $x=-2$ y $x=2$.
De acuerdo. Te mostraré mi trabajo.
Primero hago el gráfico.
Veo que entre $-2$ y $0$ la región delimitada está arriba del eje $x$, así que es positiva, y que entre $0$ y $2$ la región delimitada está debajo del eje $x$, así que es negativa. Por lo tanto, llamaré a la primera $A_1$ y a la segunda $A_2$.
$$A_{total}=\int_{-2}^2 (4x^3-16x) dx$$ $$A_{total}=A_1+A_2$$ $$A_{total}=\int_{-2}^0 f(x) dx+(-\int_0^2 f(x) dx)$$ $$A_{total}=\int_{-2}^0 (4x^3-16x) dx+(-\int_0^2 (4x^3-16x) dx)$$ $$A_{total}=[\frac{4x^4}{4}-\frac{16x^2}{2}]|^{0}_{-2} - [\frac{4x^4}{4}-\frac{16x^2}{2}]|^{2}_{0} $$ $$A_{total}=[x^4-8x^2]|^{0}_{-2} - [x^4-8x^2]|^{2}_{0} $$ $$A_{total}=[((0)^4-8(0)^2)-((-2)^4-8(-2)^2)]-[((2)^4-8(2)^2)-((0)^4-8(0)^2)]$$ $$A_{total}=[-(16-32)]-[16-32]$$ $$A_{total}=[-(-16)]-[-16]$$ $$A_{total}=16+16$$ $$A_{total}=32u^2$$
Así que obtuve que el área total es de 32 unidades cuadradas. Pero me preguntaba por qué es diferente de hacer la integración de $\int_{-2}^2 (4x^3-16x) dx$. Esto da $0$.
$$\int_{-2}^2 (4x^3-16x) dx$$ $$=[\frac{4x^4}{4}-\frac{16x^2}{2}]|^{2}_{-2}$$ $$=[x^4-8x^2]|^{2}_{-2}$$ $$=[(2)^4-8(2)^2]-[(-2)^4-8(-2)^2]$$ $$=[16-32]-[16-32]$$ $$=-16-[-16]$$ $$=-16+16$$ $$=0$$
Así que estoy un poco confundido. ¿Cuál es el correcto?
Por favor, ayúdame.
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Tenga en cuenta que $|\int f(x)dx|\ne \int |f(x)|dx$