Definición formal del producto puntual

Question

En la mayoría de los libros de texto, el producto escalar entre dos vectores se define como:

$$\langle x_1,x_2,x_3\rangle \cdot \langle y_1,y_2,y_3\rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y _3$$

Entiendo cómo esta definición funciona la mayoría del tiempo. Sin embargo, en esta definición, no hay ninguna referencia al sistema de coordenadas (es decir, no está incluido para los componentes del vector). Así que, si yo tuviera dos vectores en dos diferentes sistemas de coordenadas:

$$x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} + x_3 \vec{e_3}$$ $$y_1 \vec{e_1'} + y_2 \vec{e_2'} + y_3 \vec{e_3'}$$

Cómo iba yo a calcular su producto escalar? En particular, hay una más formal/resumen/generalizada de la definición de producto escalar (que me permita calcular $\vec{e_1} \cdot \vec{e_1'}$ sin necesidad de convertir los vectores con el mismo sistema de coordenadas)? Aunque yo lo hice convertir los vectores con el mismo sistema de coordenadas, ¿cómo sabemos que el resultado será el mismo si multiplico los componentes en el cebado del sistema versus el imprimado sistema?

Answer 1

Productos de puntos, o el interior de los productos son definidos axiomáticamente, o de manera abstracta. Un producto interior en un espacio vectorial $V$ sobre $R$ es un emparejamiento $V\times V\to R$, que se denota por a$ \langle u,v\rangle$, con propiedades de $\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$, $\langle u+cw,v\rangle= \langle u,v\rangle+c\langle w,v\rangle$, e $ \langle u,u\rangle\gt0$ si $u\ne0$. En general, un espacio vectorial puede ser dotado con un producto interior en muchas maneras. Aviso aquí no hay ninguna referencia a una base/sistema de coordenadas.

Usando lo que se llama la de Gram-Schmidt proceso, entonces se puede construir una base $\{e_1,\cdots e_n\}$ para $V$ en el que el producto interior lleva el cómputo de la forma que se indica en su pregunta.

En su pregunta, usted realmente están empezando con lo que se llama un ortonormales base de un producto interior. La coordenada libre de enfoque es el estado de los postulados que un producto interior deben obedecer, a continuación, después de recibir un explícito interior del producto, la construcción de una base ortonormales en el que hacer sus cálculos.

En general, una base ortonormales $\{e_1,e_2,e_3\}$ por un producto interior en $V$ no será una ortonormales base para otro producto interior en $V$.

Answer 2

Su parte superior de la línea de pregunta puede ser contestada en muchos niveles. Dejando de lado cuestiones de formas y covariante/contravariante, la respuesta es:

El producto escalar es el producto de las magnitudes de los dos vectores, multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos.

No importa qué base se calcula que en, usted tiene que obtener la misma respuesta porque es una cantidad física.

El habitual "la suma de los productos de ortonormales componentes" es entonces un conveniente método de cálculo, pero como hemos visto no es la única manera de calcularlos.

El punto de las propiedades del producto incluye lineal, conmutativa, distributiva, etc. Así que al expandir el producto escalar

$$(a_x \hat{x}+a_y \hat{y} + a_z \hat{z}) \cdot (b_x \hat{X}+b_y \hat{Y} + b_z \hat{Z})$$

usted obtener nueve términos como $( a_x b_x \hat{x}\cdot\hat{X}) + (a_x b_y \hat{x}\cdot\hat{Y})+$ etc. En la habitual ortonormales base, el mismo eje $\hat{x}\cdot\hat{X}$ factores que acaba de convertirse en 1, mientras que los diferentes ejes $\hat{x}\cdot\hat{Y}$ et al factores son cero. Que se reduce a la fórmula que usted sabe.

En un no-ortonormales, usted tiene que averiguar lo que esos base de productos. Para hacer eso, usted se refiere de nuevo a la definición: el producto del tamaño de cada uno, multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos. Una vez que usted tiene todas esas, está otra vez todo el conjunto de calcular. Sólo se ve un poco más complicado...

Answer 3

El producto escalar se puede definir en una coordenada independiente de la manera como

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$

donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores. Esto implica que sólo las longitudes y los ángulos, no coordina.

Utilizar la primera fórmula, las coordenadas deben estar en la misma base.

Usted puede convertir entre las bases y el uso de una matriz de rotación, y el hecho de que una matriz de rotación conserva vector de longitudes es suficiente para demostrar que conserva el producto escalar. Esto es debido a que

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}\left(|\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\right).$$

Esta fórmula es otro puramente geométricos, coordinar libre de la definición de producto escalar.

Answer 4

La definición libre de coordenadas de un producto de puntos es:

PS

Depende de usted averiguar cuál es la norma:

PS

Aquí hay una referencia para este punto de vista: http://www.pmaweb.caltech.edu/Courses/ph136/yr2012/1202.1.K.pdf Sección 2.3

Answer 5

Al computar, la siguiente matriz le dará el producto de puntos $$\begin{bmatrix} x_1 & x_2& x_3 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} e_1.e'_1 & e_1.e'_2 & e_1.e'_3 \\ e_2.e'_1 & e_2.e'_2 & e_2.e'_3 \\ e_3.e'_1 & e_3.e'_2 & e_3.e'_3\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}$ $ Si transformamos la coordenada de un vector, solo los componentes y la base de los cambios de vectores. El vector se mantiene sin cambios. Por lo tanto, el producto punto permanece sin cambios incluso si calculamos el producto punto entre vectores imprimados y no imprimados.