Dejemos que $E_1$ , $E_2 \subset \mathbb{P}^d$ sean dos curvas elípticas suaves, que son isomorfas como curvas abstractas. ¿Cómo se puede demostrar que son proyectivamente equivalentes? Es decir, hay un automorfismo $\phi \in \mathbb{P}GL(d+1)$ s.t. $\phi(E_1)=E_2$ .
Respuesta
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Esto sólo es correcto para las curvas normales elípticas, es decir, para las curvas de género 1 en $\mathbb{P}^r$ con grado $r+1$ . Para ver esto, observe por Riemann-Roch que cualquier grado $r+1$ haz de líneas $L$ en una curva de género 1 $E$ es muy amplio (para $r\geq 2$ ) y tiene $r+1$ secciones. Además, cualquier haz de líneas de grado $r+1$ en $E$ es isomorfo a $\mathcal{O}_E((r+1)p)$ para algunos $p\in E$ . Como cualquier otro haz de líneas será de la forma $\mathcal{O}_E((r+1)q)$ será isomorfo a $L$ bajo el automorfismo de $E$ dado por la traducción por $p-q$ . Por tanto, el mapa dado por cualquier otro haz de líneas diferirá del dado por $L$ por un automorfismo de $E$ . Por lo tanto, todo género 1, grado $r+1$ curvas en $\mathbb{P}^r$ estarán dadas por incrustaciones definidas por una base de $H^0(L)$ y el mapa dado por otra base de $H^0(L)$ se diferenciará del primer mapa por la acción de la matriz de cambio de base "mod escalares", que es un elemento de $\mathbb{P}GL(r+1)$ .
El motivo por el que falla para otros grados se puede ver con un recuento de parámetros. Para una curva abstracta de género 1 fija $E$ el espacio de incrustaciones proyectivas suaves de grado $d$ en $\mathbb{P}^r$ tiene dimensión: $\operatorname{dim Pic}^d(E)+ \operatorname{dim}G(r+1,d)+\operatorname{dim}\mathbb{P}GL(r+1)-\operatorname{dim} Aut(E)$ .
Esto equivale a $\operatorname{dim}G(r+1,d)+\operatorname{dim}\mathbb{P}GL(r+1)$ y esta dimensión no es igual a $\operatorname{dim}\mathbb{P}GL(r+1)$ a menos que $d=r+1$ .
