Como otros han dicho, tu razonamiento es correcto para los dos primeros ejemplos, pero no la tercera. Permítanme hablar de cómo responder a la pregunta de un campo general.
En general, si $K$ es un campo, entonces $\overline{K}/K$ es de Galois si bien $K$ tiene características de las $0$ o $K$ tiene características de las $p$ y cada elemento de a $K$ $p$th raíz. Un campo que se llama perfecto. De hecho, si algún elemento $a\in K$ no tienen un $p$th raíz, a continuación, $\sqrt[p]{a}\in \overline{K}$ no es separable sobre $K$. Por el contrario, si cada elemento de a $K$ $p$th raíz y $a\in\overline{K}$ es no separable, vamos a $f(x)$ ser el polinomio mínimo de a $a$. Desde $a$ es no separable, podemos escribir $f(x)=g(x^p)$ para algunos polinomio $g(x)\in K[x]$. Pero, como cada elemento de a $K$ $p$th raíz, podemos tomar la $p$th raíces de todos los coeficientes de $g$ conseguir $h(x)\in K[x]$ tal que $f(x)=h(x)^p$. Esto contradice irreductibilidad de $f(x)$.
En particular, un campo finito es perfecto desde $x\mapsto x^p$ es inyectiva y por lo tanto surjective ya que cualquier inyección de un conjunto finito a sí mismo es surjective. Pero $\mathbb{F}_p(t)$ no es perfecto, ya que $t$ no $p$th raíz.
