Cómo evaluar $\lim_{t\to 0} \frac{e^{-1/t}}{t}$ ?

Question

¿Cómo puedo evaluar \[ \lim_ {t \to 0} \frac {e^{-1/t}}{t} \quad ? \] Intenté usar la regla de L'Hôpital pero no me sirvió. Cualquier sugerencia es bienvenida. Gracias.

Answer 1

Se le da

$$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}\exp\left({-\frac 1 t}\right)$$

Desde $1/t$ se comporta de forma opuesta para $0^+$ o $0^-$ Consideramos ambas situaciones. Entonces dejamos que $x =\dfrac 1 t $ y obtener

$$\lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t}\exp\left({-\frac 1 t}\right)=\lim_{x \to+\infty}xe^{-x}=\lim_{x \to+\infty}\frac x {e^{x}}$$

$$\lim_{t \to 0^-} \frac{1}{t}\exp\left({-\frac 1 t}\right)=\lim_{x \to -\infty}xe^{-x}$$

Supongo que ahora el cálculo es sencillo.

Answer 2

Sugerencia: Establecer $x=1/t$ . (Además, hay que tener en cuenta $t \to 0^+$ y $t \to 0^-$ por separado).