Integración de los extranjeros

Question

Estoy buscando una manera de integrar$$\int \sqrt{x^2-4}\ dx $ $ usando sustituciones trigonométricas.

Todos mis intentos hasta ahora llevan a soluciones complicadas que no se pueden computar.

Answer 1

Siguiendo con la (segunda) pista de Aaron Maroja, note que

PS

dónde $$\sec\theta\tan^2\theta\ d\theta={\sin^2\theta\ d\theta\over\cos^3\theta}={\sin^2\theta\cos\theta\ d\theta\over\cos^4\theta}={s^2\ ds\over(1-s^2)^2}$. Algunas tediosas fracciones parciales pueden envolver las cosas:

PS

Answer 2

Para una sustitución trigonométrica,$ x = 2\sec \theta $ funcionará si puede integrar ciertas otras funciones trigonométricas.

Answer 3

Me centraré en $\displaystyle \int \sqrt{x^2-1}\,\mathrm dx$ por la simplicidad. Esto es lo que yo pienso acerca de este tipo de problema cuando no recuerdo la sustitución adecuada.

Si usted sospecha que es útil el uso de una trigonométricas sustitución, ya que la propiedad fundamental $$\forall \theta \in\mathbb R\left((\sin(\theta))^2+(\cos(\theta))^2=1\right)$$ involves only squared numbers, the substitution $x=\varphi(\theta)$ has to be such that $(\varphi(\theta))^2-1$ es una plaza frente a la negativa de un cuadrado (porque de la raíz cuadrada).

Así que ahora el objetivo es la obtención de algo que se parece a $(\varphi(\theta))^2-1$$(\sin(\theta))^2+(\cos(\theta))^2=1$.

Claramente algo como $(\sin(\theta))^2-1=-(\cos(\theta))^2$ no ayuda, porque el lado derecho es el negativo de una plaza.

El siguiente truco habitual con este identidades trigonométricas es dividir por $\cos$ rendimiento $(\tan(\theta))^2+1=(\sec(\theta))^2$ desde donde uno se $(\tan(\theta))^2=(\sec(\theta))^2-1$ que cumpla los criterios anteriores.

Considere la posibilidad de la sustitución de $x=\sec(\theta)$. Esto dará como resultado, después de un par de cálculos, en los conocidos antiderivatives.

Answer 4

Sugerencia: Vamos a$x = 2 \cosh \theta \Rightarrow dx = 2 \sinh \theta\ d\theta $.

Edit: El OP dijo que todavía no ha visto funciones hiperbólicas. Entonces, ¿qué pasa con$x = 2\sec \theta \Rightarrow dx = 2\sec \theta \tan\theta\ d\theta$

Asi que

PS

Answer 5

Usando la sustitución$x = \sec \theta$, terminamos con

PS

Esto se puede hacer utilizando la integración por partes.

$$ \begin{align} \int \sec \theta \tan^2 \theta \,d\theta &= \int \tan \theta \,d(\sec \theta) \\&= \tan \theta \sec \theta - \int \sec\theta \,d(\tan\theta) \\&= \tan \theta \sec \theta - \int \sec\theta \,(\tan^2 \theta + 1) \,d\theta \\&= \tan \theta \sec \theta - \int \sec \theta \tan^2 \theta \,d\theta - \int \sec\theta \,d\theta \\ 2\int \sec \theta \tan^2 \theta \,d\theta &= \tan \theta \sec \theta - \int \sec\theta\,d\theta \end {align} $$ Para referencia: Integral de secante en cubos