Mostrar $f$ es un polinomio complejo de grado máximo 2

Question

Supongamos que $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ es una función entera y

$$\displaystyle\min\{\left|f'(z)\right|,\left|f(z)\right|\}\leq \left|z\right|+2$$ para todos $z\in\mathbb{C}$ .

Cómo ver que $f$ es un polinomio en $z$ de grado como máximo 2?

Sólo puedo verlo cuando $\left|f(z)\right|\leq \left|z\right|+2$ utilizando la estimación de Cauchy. Cómo manejar $f'(z)$ parte juntos?

Answer 1

Al añadir una constante, se puede suponer que $f(0) = 0$ . Para un punto arbitrario $z \in \mathbb{C}$ considerar la parte mínima del segmento de línea $L_z$ de $z$ a $0$ que conecta $z$ a un punto $z_0$ con $|f(z_0)| \le |z_0| + 2$ . (Si esto ya se cumple para $z_0 = z$ el segmento de línea será simplemente el punto $z = z_0$ .) Para cualquier $w \in L_z$ por supuesto $|f'(w)| \le |w| + 2$ . Integrando $f'$ a lo largo de $L_z$ y utilizando el teorema fundamental de las integrales de línea, se obtiene por estimaciones estándar que $|f(z)|$ crece como máximo cuadráticamente en $|z|$ . A continuación, proceda a utilizar las estimaciones de Cauchy.