Que $\mathcal{L}(X)$ ser la álgebra de todos limitado operadores lineales de $X$ $X$ % de espacio de Banach $X$.
Necesito mostrar que $\mathcal{L}(\ell_p \oplus \ell_q)$ $p \neq q$ contiene ideales dos lados cerrados no triviales por lo menos dos.
Respuesta
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En cada infinito-dimensional espacio de Banach $X$ el compacto de los operadores y el estrictamente singular operadores están cerrados ideales de $\mathcal{L}(X)$. En el presente caso estos son distintos ideales, ya que cada operador $\ell^p \to \ell^q$ $p \lt q$ es estrictamente singular por un corolario de Pitt teorema, pero, por ejemplo, la inclusión no es compacto. Así que no hay una respuesta fácil, pero es posible que estos ideales son considerados "trivial".
En la sección 5 de los Conmutadores en $\ell_\infty$, Dosev y Johnson punto de que hay un candidato para un máximo ideal en cada infinitas dimensiones espacio de Banach $X$: Decir la identidad de $I$ factores a través de $T \colon X \to X$ si no se $A$ $B$ tal que $ATB = I$. Definir $$\mathfrak{m} = \{M \in \mathcal{L}(X) \mid \text{the identity does not factor through } T\}$$ entonces claramente $TM, MT \in \mathfrak{m}$ todos los $M \in \mathfrak{m}$$T \in \mathcal{L}(X)$. Así que esto es lo ideal si es cerrado bajo la suma: $\mathfrak{m} + \mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}$ y en este caso es el ideal maximal y por lo tanto es cerrado. En los espacios de Banach $c_0, \ell_p, L_p$ $1 \lt p \lt \infty$ se puede demostrar que $\mathfrak{m}$, en realidad es un ideal.
Por desgracia, en el caso de $X = \ell^p \oplus \ell^q$ resulta que $\mathfrak{m}$ es no es cerrado bajo la suma.
Sin embargo, existe una variante de esta idea que funciona: Vamos a $\mathfrak{m}_p$ el conjunto de los operadores de $M$ que puede ser escrito como $M = AB$$B \colon X \to \ell_p$$A\colon \ell_p \to X$. De nuevo, es claro que $TM,MT \in \mathfrak{m}_p$ siempre $T \in \mathcal{L}(X)$ $M \in \mathfrak{m}_p$ y un ser demostrado que para $X = \ell_p \oplus \ell_q$ $p \neq q$ es cerrado bajo la suma, por lo $\mathfrak{m}_p$ un ideal. Ahora $\mathfrak{m}_p$ no está cerrado, pero su cierre $\mathfrak{a}_p$ es un ideal. Es un teorema de H. Porta, Factorable y estrictamente singular operadores, Studia Matemáticas. 37 (1971) 237-243, que $\mathfrak{a}_p$ $\mathfrak{a}_q$ son sólo dos de los máximos ideales de la $\mathcal{L}(X)$ y $\mathfrak{a}_p \cap \mathfrak{a}_q$ consiste, precisamente, de la estrictamente singular operadores.
