Parametrizando una superficie 3D

Question

Encontrar una parametrización de la superficie $x^3 + 3xy + z^2 = 2$, $z > 0$, y lo utilizan para encontrar el plano tangente en $x = 1$, $y = \dfrac{1}{3}$, $z = 0$.

Sé cómo encontrar el plano tangente una vez que la parametrización es la primera parte que es preocupante mí. Empecé por resolver para $z$, lo que me dio la parametrización $(u, \, v, \, \sqrt{2-u^3-3uv})$. Entonces la derivada parcial de w.r.t. $u$ $\left( 1, \, 0, \, \dfrac{-3(u^2+v)}{2 \sqrt{2-u^3 - 3uv}} \right)$ . Pero cuando me conecte $u = 1$$y = \dfrac{1}{3}$, tengo una discontinuidad.

No sé qué más probar. Tal vez las coordenadas cilíndricas funcionaría mejor?

Answer 1

Es mucho más fácil trabajar sin una parametrización. El gradiente de una forma implícita de la superficie es la normal del plano tangente, sin necesidad de parametrización.

La pendiente se vuelve

$$(3x^2+3y,3x,2z)=(4,3,0)$$

lo que le da la normal.

Su parametrización es malo, porque no son dos ramas de la raíz cuadrada y se encuentra precisamente en $z=0$, donde las ramas de cumplir. Si usted realmente desea utilizar parametrización, seleccione otro par de variables. O, usted puede multiplicar su totalidad divergentes derivado del vector por la raíz cuadrada en el denominador. Escalado no importa si usted sólo necesita las direcciones.

Answer 2

Sugerencia: pruebe esta parametrización:$x = u$,$z = v$ y$y = (2 - v^2 - u^3)/3u$.