Polinomio mínimo para$x=\tan \left( \frac{2}{5} \arctan p \right)+\tan \left( \frac{3}{5} \arctan p \right)$

Question

He encontrado numéricamente que el polinomio mínimo de:

$$x=\tan \left( \frac{2}{5} \arctan p \right)+\tan \left( \frac{3}{5} \arctan p \right)$$

tiene la siguiente forma:

$$(3p^2-1)(p^2-1)\color{blue}{x^5}-5p(p^4-10p^2+5)\color{blue}{x^4}- \\ -40p^2(3p^2-5)\color{blue}{x^3}+80p^3(p^2-7)\color{blue}{x^2}+640p^4\color{blue}{x}-256p^5=0$$

Me conjetura este formulario para todos los $p \in \mathbb{R}$.

¿Cómo puede este resultado ser probada? Teniendo en cuenta, la ecuación es quintic en $p$ así, la función inversa se supone que no tienen una forma simple.

Yo no estoy familiarizado con el álgebra abstracta o cualquier cosa relacionada. Lo que hice fue conseguir un mínimo de polinomios para varios valores de $p$ por Wolfram Alpha y, a continuación, ajuste de los coeficientes de un polinomio en $p$ por mínimos cuadrados.

---

Otra pregunta: es el quintic ecuación de $p$ solucionable, es decir, hay una explícita de la función inversa $p(x)$?

Answer 1

Deje que el polinomio en la variable $x$ cuyos coeficientes son polinomios en $p$ denotarse $q(p,x).$ Definir $u=(1/5) \arctan p,$, de modo que la definición de $x$ en términos de $p$ es $$x = \tan (2u)+\tan(3u).\tag{1}$$ Desde $5u=\arctan p$ tenemos $\tan (5u)=p.$ Ahora podemos usar las fórmulas de adición para la tangente en cada uno de $\tan 2u, \tan 3u, \tan 5u,$ y para facilitar la notación podemos escribir simplemente $t$ $\tan u.$ Cuando esto es hecho, obtenemos $x$ la expresión $$x = \frac{t^5-10t^3+5t}{3t^4-4t^2+1}.$$ Y para $p$ llegamos a la expresión $$p = \frac{t(t^4-10t^2+5)}{5t^4 -10t^2+1}.$$ Tenga en cuenta que la expresión de la $x$ puede tomar un cero denomintor al$t=1,1,3,$, sin embargo, que es irrelevante en la comprobación de que $q(p,x)=0$ es una "identidad", esto es cierto para todos, pero algunos aislados de valores.

No tengo lo suficientemente potente software para comprobar que, efectivamente, cuando las expresiones anteriores para $p$ $x$ el (complicado) quintic $q(p,x)$ el resultado es idéntica a cero. Sin embargo, me hizo poner el lío en mi TI90 y échale un vistazo a un montón de valores de $t$ y numéricamente fue cero o muy cerca así que para esos valores.

Para terminar realmente este (más bien insatisfactorio) a prueba, uno tendría que correr todo a través de una buena CAS, tal vez Wolfram podría hacerlo (sé que algunos de arce, pero no Wolfram, y tal vez podría agregar más tarde el resultado de un arce de verificación.) En cualquier caso, creo que este enfoque muestra que uno podría verificar la polyomial es siempre cero, básicamente, a partir de trigonometría y álgebra.

Edit: Ya que yo estaba con ganas de llegar a este, no me di cuenta achille hui comentario de delinear un procedimiento mediante resultantes. [se eliminará si alguien me quiere a]