Demuestre que para cada número$n \in \mathbb N$ es la suma de los números$n, n + 1, n + 2, ..., 3n - 2$ igual a la segunda potencia de un número natural.

Question

Tengo una tarea de matemáticas:

Demostrar que para cada número $n \in \mathbb N$ es la suma de los números de $n, n + 1, n + 2, ..., 3n - 2$ , equivalente a la segunda potencia de un natural número.

Yo en realidad no conseguir la tarea. Quiero suponer que la secuencia de continuar de esta manera: $n, n + 1, n + 2, n + 3, ..., n + k$, pero no $3n - 2$. No hay algo mal con el libro? La clave del libro dice: $$ S_n = (2n-2)^2 $$ donde $ S_n$ es la suma de todos los números.
Gracias por Su respuesta,
Dominik

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Lo siento, he cometido un error. Lo que realmente es $$ S_n = (2n-1)^2 $$ Estoy realmente apenado.

Answer 1

Para $n=1$ $3n-2=1$ y no es sólo un número, la suma es $1$

Para $n=2$ $3n-2=4$ y la suma es $2+3+4=9$

Para $n=3$ $3n-2=7$ y la suma es $3+4+5+6+7=25$

Los números de $n$ $3n-2$ son parte de la receta por la cual la suma es poner juntos. No hay ningún problema en el uso de $3n-2$ en esta receta, siempre es consistente. La escritura de los primeros, como lo he hecho a veces ayuda a ver lo que está sucediendo. A menudo hay poco peculiaridades con el primer término (aquí la suma se compone de un elemento), por lo que la segunda y la tercera puede dar una mejor idea de lo que sucede en general.

La próxima cosa a hacer es tratar de escribir lo que sucede en general a la conclusión obvia. Entonces usted tiene que probar que funciona siempre.

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Ya que no es una solución completa publicado, aquí es una sugerencia distinta. Con $2n-1=r$ la suma es $(r-(n-1)) + (r-(n-2))+\dots +(r-1)+r+(r+1)+\dots +(r+(n-1))$. Hay $2n-1=r$ términos y vinculación desde el exterior, o tomando el promedio de plazo y multiplicando por el número de términos, da una suma de $r^2$

Answer 2

Uso de la identidad, $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$$ obtenemos $$\begin{align} n+(n+1)+\cdots+3n-2 & =(1+2+\cdots+3n-2)-(1+2+\cdots+(n-1)\ & = \frac{(3n-2)(3n-1)}2-\frac{n(n-1)}2\ & = \frac{8n^2-8n+2}2\ & = 4n^2-4n+1\ &= (2n-1)^2. \end {Alinee el} $$

Estoy dispuesto a apostar que hay una errata en su libro.

Answer 3

Sí, será $(2n-1)^2$

La prueba de la siguiente manera,$$n+(n+1)+(n+2)+\dots+[n+(2n-2)]\\=\underbrace{(n+n+\dots+n)}_{(2n-2+1)=2n-1 \text{ times}}+\{1+2+\dots+(2n-2)\}\\=(2n-1)n+\frac {(2n-2)(2n-1)}2\\=(2n-1)(n+n-1)=(2n-1)^2$ $

La respuesta de todos, publicada anteriormente, es extraordinaria, no pretendo socavarlos. Publiqué esto porque era un enfoque ligeramente diferente.

Answer 4

Sea $ s_n = \ sum_ {k = n} ^ {3n-2} k $.

$s_1 = 1$.

$s_2 = 2+3+4 = 9$.

$s_3 = 3+4+5+6+7 = 25$.

Conjetura:$s_n = (2n-1)^2$.

$ s_ {n +1} -s_n = \ sum_ {k = n +1} ^ {3n +1} k- \ sum_ {k = n} ^ {3n-2} k = (3n-1 +3n +3n +1) - (n) = 8n $.

Si$s_n = (2n-1)^2$, $ s_ {n +1} = (2n = 1) ^ 2 +8n = 4n ^ 2-4n +1 +8n = 4n ^ 2 +4n +1 = (2n +1) ^ 2 PS

Esto prueba el resultado por inducción.

Answer 5

Por el truco que sabemos de Gauss obtenemos que$$\sum_{i = 1}^s i = \frac{s(s+1)}{2}$ $

Si completamos$s = 3n - 2$ y restamos la suma hasta$s = n-1$, vemos que$$S_n = \sum_{i = n}^{3n - 2} i = \sum_{i = 1}^{3n - 2} i - \sum_{i = 1}^{n-1} i$ $

entonces$$S_n = \frac{(3n - 2)(3n - 1)}{2} - \frac{(n-1)(n)}{2}$$ which gives us $$S_n = 4n^2 - 4n + 1 = (2n-1)^2$ $