Cómo probar que:$\phi^{2}(0) \leq \|\phi\|^2_{L^{2}}+\|\phi'\|^{2}_{L^{2}}$

Question

Deje que$\phi$ sea una función y$\phi \in C^{\infty}(\mathbb{R}_{+},\mathbb{R})$ con soporte compacto y$\mbox{supp }{\phi} \subset [0, \infty)$.

Quiero probar que:$$\phi^{2}(0) \leq \|\phi\|^2_{L^{2}}+\|\phi'\|^{2}_{L^{2}}.$ $

Alguien da una indicación de que debería comenzar con:

$$\phi(x)-\phi(0)=\int_{0}^{x}{\phi'(t)}\mbox{dt}$ $ y luego para demostrar que:

PS

Gracias :)

Answer 1

Primer aviso$2\phi \phi' = (\phi^2)'$:$$\phi^2(\infty) - \phi^2(0) = \int^\infty_0 2\phi(x)\phi'(x)\,dx.$ $ Unidades de compatibilidad compactas$\phi\to 0$ cuando$x\to \infty$, así que: $$ \ phi ^ 2 (0) = \ left | \ int ^ \ infty_0 2 \ phi (x) \ phi '(x) \, dx \ right | \ leq \ int_ {0} ^ {\ infty} | 2 \ phi (x) \ phi '(x) | \, dx $$ Por último simplemente usando$2ab\leq a^2 + b^2$: $$ \ int_ {0} ^ {\ infty} | 2 \ phi (x) \ phi '(x) | \, dx \ leq \ int_ {0} ^ {\ infty} (| \ phi (x) | ^ 2 + | \ phi' (x) | ^ 2) \, dx = \ | \ phi \ | ^ 2_ {L ^ {2}} + \ | \ phi '\ | ^ {2} _ {L ^ {2}}. $$