¿Por qué es interesante la aproximación del número entero de una función?

Question

Recientemente he aprendido el siguiente resultado:

Deje $g \in \mathbb{R}[x]$ ser un polinomio con $g(0) = 0$. Entonces, para cualquier $\varepsilon > 0$, el conjunto de enteros positivos $n$, de tal manera que $g(n)$ está dentro de $\varepsilon$ de un número entero, es una $IP^*$.

Ser un $IP^*$ es una noción de grandeza/combinatoria riqueza. Un conjunto es $IP^*$ fib tiene una intersección vacía con cualquier $IP$. Un conjunto es $IP$ fib contiene todos finito de sumas $\sum_{i \in I} a_i$ para algunos secuencia $a_i$ de los enteros positivos. Por ejemplo, el conjunto de los enteros divisibles por $k$$IP^*$, para cualquier $k$.

Yo no entiendo donde esta el resultado, y cómo demostrarlo. También creo que es muy elegante. Lo que me intriga es: ¿por Qué este resultado interesante? ¿Cuáles son las posibles aplicaciones/consecuencias de una función que recibe cerca de-valores enteros en un gran conjunto, en su caso?

Answer 1

Porque después de mucho tiempo la pregunta recibido un número de upvotes, pero no se había dado respuesta, voy a tratar de escribir lo que sea la justificación que he logrado hasta ahora.

$\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}}$

El contraste con la equidistribución. Se trata de una clásica resultado que si $g(x) \in \bbR[x]$ es un polinomio con al menos uno de los irracionales coeficiente, a continuación, la secuencia $\left( g(n) \bmod{1} \right)_{n \in \bbZ}$ es equdistributed. Esto significa que si usted considera que cualquier intervalo de $I \subset [0,1)$, y la mirada en el conjunto de $A_I := \{ n \in \bbZ \ : \ g(n) \bmod{1} \in I \}$, $A_I$ es un conjunto de números enteros con la densidad: $$ \operatorname{madrigueras} A_I = \lim_{N-M \to \infty} \frac{A_I \cap [M,N)}{N-M} = |I| $$ El límite es de entenderse en el sentido de que tenemos la convergencia $\lim_{i \to \infty} \frac{A_I \cap [M_i,N_i)}{N_i-M_i}$ siempre $\lim_{i \to \infty}(N_i - M_i) = +\infty$. No está claro a priori que este límite debe existir, pero el teorema de decir que de hecho existe y es igual a la longitud de $I$, que es lo que uno esperaría de una secuencia aleatoria. Este resultado es debido a Weyl, y se puede encontrar en Wikipedia, junto con otros resultados en el espíritu similar. Parece que ha habido un gran interés en estos problemas, por ejemplo el teorema de Vinogradov cae bajo este título.

Por otro lado, el teorema he mencionado dice, básicamente, que en el mismo programa de instalación, si $I = (-\varepsilon,\varepsilon)$,$A_I$$IP^*$. (eso es un poco de trampa, ya que me dijo que $I \subset [0,1)$, pero ya que las cosas están sucediendo modulo $1$, espero que quede claro lo que se quiere decir). Un "azar" no es $IP^*$, y un conjunto tiene que ser relativamente estructurado o grande para ser tal. Por ejemplo, un $IP^*$ ha$IP$, lo que significa que contiene un patrón de $FS(a) := \{ \sum_{i \in I} a_i \ : \ I \subset \mathbb{N},\ \text{finite} \}$ para un aumento de la secuencia de $a_i$. Genéricamente hablando, una traducción de un $IP^*$ no $IP^*$. Así, resulta que $A_I$ es combinatoria rica (de acuerdo con Weyl la equidistribución), y es incluso más rica que la primera intuición podría sugerir (en contraste con la equidistribución).