Diferencia entre conjuntos abiertos de intervalo y conjuntos abiertos de espacio topológico

Question

Estoy tratando de comprender la diferencia entre abrir establece en una línea real y abrir establece en un espacio topológico. Por ejemplo, al leer acerca de open conjuntos en la recta Real, de la que dice:

Recordar las siguientes definiciones acerca abiertos y conjuntos cerrados en $\mathbb{R}^d$.

Abrir Establece: Escribir

$B_d(x,r) :=\{y \in R^d: |y-x| < r\}$

para la bola abierta de radio $r$$x \in \mathbb{R}^d$.

Un conjunto $G \subset \mathbb{R}^d$ es abierto si para todas las $x \in G$ existe un $r > 0$ tal que $B(x,r) \subset G$.

Ahora si hablar de espacio topológico:

Un espacio topológico, también llamado un resumen topológica del espacio, es un set $X$ junto con una colección de subconjuntos abiertos $T$ que satisface los cuatro condiciones:

1. El conjunto vacío emptyset es en $T$.

2. $X$ $T$.

3. La intersección de un número finito de conjuntos en $T$$T$.

4. La unión de un número arbitrario de conjuntos en $T$$T$.

Los miembros de la $T$ son llamados conjuntos abiertos

Ahora, cómo abrir sets de la línea real y Topológicas del espacio están relacionados?

Answer 1

La línea real es un ejemplo de un espacio topológico. Si se define $$ \mathcal T = \{ A\subseteq\mathbb R \mid A\text{ satisfies the }{\it first}\text{ definition of open set}\}$$ a continuación, puede (muy fácilmente) demostrar que este particular $\mathcal T$ satisface la definición de la topología.

Por lo tanto mientras que usted está hablando acerca de que la topología (la norma "topología" en la $\mathbb R$), diciendo que los miembros de $\mathcal T$ son llamados "abrir" ¿ está de acuerdo con su intervalo inicial basado en la definición de "abrir".

Sin embargo, el punto de la definición de "topología" de manera abstracta es que ahora se puede hablar de otras topologías donde "abierto" no tiene nada en particular que hacer con intervalos.

Answer 2

El primero es un caso especial de un espacio topológico; mientras que la segunda parte describe los espacios topológicos en general...

$\mathbb R^d$ es de hecho un espacio métrico, por lo que podemos hablar de abrir las bolas de radio dado. (Me refiero a la norma métrica Euclidiana, aunque hay otros). En cualquier espacio métrico abierto bolas forman una base para una topología. Que es lo que se describe arriba.

Este no es el caso en cada espacio topológico... Todos necesitamos de un espacio topológico, en general, es una colección de conjuntos que se define a ser abierto, y que satisfacen las condiciones dadas (en la segunda parte)...

Answer 3

Cualquier conjunto abierto en$\mathbb R$ es una unión de intervalos abiertos; uno dice que los intervalos abiertos forman una base para la topología de$\mathbb R$. De manera similar, las bolas abiertas forman una base para la topología de$\mathbb R^n$.

Answer 4

La topología de$\mathbb {R^n}$ es un caso especial de topología general.

Los conjuntos abiertos en$\mathbb {R^n}$ satisfacen los cuatro axiomas de los conjuntos abiertos en la topología general.

La topología de$\mathbb {R^n}$ es una topología especial llamada Topología métrica en la que las distancias se definen, mientras que en la topología general la noción de distancia no es parte de la imagen.