No es un problema muy sencillo, pero a la siguiente solución es bastante bueno ;)
Denotar $a=y+z,b=z+w,c=y+w$$y=\frac{a+c-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2},w=\frac{b+c-a}{2}$.
Las restricciones se convierten
\begin{align}
x\ge 0 \\
a+b-c\ge 0 \\
b+c-a\ge 0\\
c+a-b\ge 0 \\
0\le a,b,c \le 1 \\
x+ \frac{a+b-c}{2} \le 1 \\
x+ \frac{b+c-a}{2} \le 1 \\
x+ \frac{c+a-b}{2} \le 1
\end{align}
y la función de $F$ se convierte en
$$F = \frac{1}{a+x} + \frac{1}{b+x} + \frac{1}{c+x} - \frac{2}{x+\frac{a+b+c}{2}}.$$
WLOG, supongamos que $c=\min(a,b,c)$.
Vamos a mostrar que el $F\ge 1$.
Desde la conocida desigualdad de $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r} \ge \frac{9}{p+q+r} \quad \forall p,q,r > 0$ con igualdad de iff $p=q=r$ (que es la continuación de AM-GM de la desigualdad: $(p+q+r)\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\right) \ge 3\sqrt[3]{pqr}\cdot 3 \sqrt[3]{\frac{1}{pqr}}=9$), tenemos
$$F\ge \frac{9}{(a+x)+(b+x)+(c+x)} - \frac{4}{2x+a+b+c},$$
o $F\ge f(x)$ donde $$f(x) = \frac{9}{3x+s} - \frac{4}{2x+s}$$ and $s=a+b+c$.
Es fácil mostrar que $f(x)$ es la disminución en el $[0,+\infty)$ tomando sus derivados, o simplemente re-escribiendo como $$f(x) = \frac{2s}{(3x+s)(2x+s)} + \frac{3}{3x+s}.$$
Así, desde la $x\le 1-\frac{a+b-c}{2}$ hemos
\begin{align}
f(x) \ge f\left(1-\frac{a+b-c}{2}\right) &= \frac{9}{3\left(1-\frac{a+b-c}{2}\right) + a+b+c} - \frac{4}{2\left(1-\frac{a+b-c}{2}\right) + a+b+c} \\
&=\frac{18}{6+5c-a-b} - \frac{2}{c+1} \\
&\ge \frac{18}{6+3c} - \frac{2}{c+1} \quad (\text{since }a+b\ge 2c) \\
&= 1 + \frac{c(1-c)}{(c+1)(c+2)} \\
&\ge 1.
\end{align}
La igualdad ocurre si, y sólo si $a=b=c$$x=1-\frac{a+b-c}{2}$$(c=0 \text{ or } c=1)$, o lo que es equivalente, $(x,a,b,c)=(1,0,0,0)$ o $(x,a,b,c)=(1/2,1,1,1)$, es decir, $(x,y,z,w)=(1,0,0,0)$ o $(x,y,z,w)=(1/2,1/2,1/2,1/2)$.
Hemos terminado.
