La suma de la serie que contiene logaritmo: $\sum_{n=1}^\infty \ln \frac{(n+1)(3n+1)}{n(3n+4)}$

Question

¿Cómo puedo encontrar la suma de la serie: $$\ln \frac{1}{4} + \sum_{n=1}^\infty \ln \frac{(n+1)(3n+1)}{n(3n+4)} $$

Traté de expansión de los términos en el numerador y el denominador y consiguió $$\ln \frac{1}{4} + \sum_{n=1}^\infty \ln\left(1+\frac{1}{n(3n+4)}\right)$$ pero estoy atrapado como yo no podía entender cómo proceder en el futuro.

Answer 1

Este es un sistema telescópico de la serie. Usted puede escribir $$ \ln \frac{(n+1)(3n+1)}{n(3n+4)} =\left[\ln(\color{blue}{n+1})-\ln (\color{blue}{n})\right] -\left[\ln (3(\color{color púrpura}{n+1})+1)-\ln (3\color{color púrpura}{n}+1)\right] $$ dando $$ \sum_{n=1}^N\ln \frac{(n+1)(3n+1)}{n(3n+4)} =\left[\ln(\color{blue}{N+1})-\ln \color{blue}{1}\right]-\left[\ln (3(\color{color púrpura}{N+1})+1)-\ln\color{color púrpura}{ 4}\right] $$ o

$$ \sum_{n=1}^N\ln \frac{(n+1)(3n+1)}{n(3n+4)} =-\ln \left(3+\frac1{N+1}\right)+2\ln 2 $$

y se puede concluir fácilmente.