Determinig si una complicada serie tiene un límite - ¿hay alguna otra manera de hacerlo?

Question

He aquí una serie el límite de lo que quiero para evaluar:

$$a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1}$$

He aquí cómo lo hice yo. Vamos a definir 3 secuencias:

$b_n=\frac{n^2-7n}{n^3+3n^2+n}$, $c_n=\frac{n-\frac{n}{2}}{n^2+4n}$, $d_n=\frac{2}{3n}$

Tenemos $\sum d_n=\frac{2}{3}\sum\frac{1}{n}$ y $\sum\frac{1}{n}$ es divergente, $\sum d_n$ también es divergente.

Así que si podemos demostrar que para suficientemente grande n $d_n \leq c_n$, lo mismo para las $c_n \leq b_n$ y finalmente mismo para$b_n \leq a_n$, a continuación, mediante la prueba de comparación vamos a demostrar, que $\sum a_n$ es divergente. Así que vamos a hacer esto ahora.

$\sum c_n=\sum\frac{1}{2(n+4)}=\frac{1}{2}\sum\frac{1}{n+4}$

Ahora vamos a $e_n=\frac{1}{n+4}$. Por lo suficientemente grande n tenemos $\frac{1}{n+\frac{n}{2}}=\frac{2}{3n}=d_n\leq e_n$. Así, mediante la prueba de comparación $\sum e_n$ divergentes, lo que significa que $\sum c_n$ también es divergente.

$c_n \leq b_n$ porque $\frac{n-\frac{n}{2}}{n^2+3n+n} \leq \frac{n-7}{n^2+3n+1}=\frac{n^2-7n}{n^3+3n^2+n}$ $b_n \leq a_n$ es obvia.

Así es, ahora hemos demostrado que la $\sum a_n$ es divergente. El problema es que tomó un tiempo y no estoy seguro de si mi solución es correcta. Hay otros, más simples maneras de resolver este problema? Preferiblemente sin derivadas e integrales - yo no he cubierto en mi curso.

Answer 1

Utilice el límite de la prueba de comparación. Deje $a_n = \dfrac 1n$ y $$b_n = \frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1}.$$

Desde $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ bifurca y $\dfrac{a_n}{b_n} \to \dfrac 1e < \infty$, usted tiene que $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$ diverge demasiado.

Answer 2

Usted puede utilizar un enfoque más sencillo.

$a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2-7n}{n^3+3n^2+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2}{n^3+3n^2+1}-7\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+3n^2+1}$

Ok, vamos a llamar a $b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^nn^2}{n^3+3n^2+1}$ $c_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+3n^2+1}$

$c_n$ converge fácilmente...

Y $b_n>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^3+3n^2+1}$, que diverge...

Por lo $a_n$ diverge.