Minimizar $LCM(a,b,c,d)$ $a+b+c+d=1000$

Question

Minimizar $$LCM(a,b,c,d)$$ given $\; a, b, c, d\; $ are distinct positive integers, and $$a+b+c+d=1000$$

Cualquier sugerencia?

Answer 1

Supongamos, sin pérdida de generalidad que $a<b<c<d$. Escribir $M$ para el valor mínimo posible de $\text{lcm}(a,b,c,d)$. Desde $$120+160+240+480=1000\text{ and }\text{lcm}(120,160,240,480)=480\,,$$ we get $$M\leq 480\,.$$ Suppose that $M$ is attained when $(a,b,c,d)=(a,B,C,D)$.

Set$k:=\text{lcm}(A,B,C)$$t:=\gcd(k,D)$. Claramente, $t\mid k$. Tenemos $$M=\text{lcm}(A,B,C,D)=\text{lcm}\big(\text{lcm}(A,B,C),D\big)=\frac{kD}{t}\,.$$ Si $k\geq 4t$,$M\geq 4D$. De $$1000=A+B+C+D\leq (D-3)+(D-2)+(D-1)+D=4D-6\,,$$ we have $D\geq\frac{1006}{4}$ or $D\geq 252$; i.e.,$$M\geq 4D\geq 1008\,,$$ which is a contradiction. Hence, $k\in \{t,2t,3t\}$.

Si $k=3t$, luego $A$, $B$, y $C$ son divisores de $3D$ que son menos de $D$. Por lo tanto, $3D\geq 4C$, $3D\geq 5B$, y $3D\geq 6A$. Por lo tanto, $A+B+C+D=1000$ implica que $$1000=A+B+C+D\leq \frac{D}{2}+\frac{3D}{5}+\frac{3D}{4}+D=\frac{57}{20}D\,,$$ de dónde $D\geq \frac{20000}{57}$ o $D\geq 351$. Sin embargo, esto significa $$M=3D\geq 1053\,,$$ lo cual es absurdo.

Si $k=2t$, luego $A$, $B$, y $C$ son divisores de $2D$ que son menos de $D$. Por lo tanto, $2D\geq 3C$, $2D\geq 4B$, y $2D\geq 5A$. Ergo, $$1000=A+B+C+D\leq \frac{2D}{5}+\frac{D}{2}+\frac{2D}{3}+D=\frac{77}{30}D\,,$$ y por lo $D\geq \frac{30000}{77}$ o $D\geq 390$. Sin embargo, $$M=2D\geq 780$$ lleva a la otra contradicción.

Ahora, hemos llegado a la conclusión de que $k=t$. Por lo tanto, $A$, $B$, y $C$ son propias de los divisores de a $D$. Esto demuestra que $D\geq 2C$, $D\geq 3B$, y $D\geq 4A$. Por lo tanto, $$1000=A+B+C+D\leq \frac{D}{4}+\frac{D}{3}+\frac{D}{2}+D=\frac{25}{12}D\,,$$ o $D\geq 480$. Que significa $$M=D\geq 480\,.$$

En consecuencia, $M=480$. La única manera posible de $(a,b,c,d)\in\mathbb{Z}_{>0}^4$ la satisfacción de las condiciones $a<b<c<d$, $a+b+c+d=1000$, y $\text{lcm}(a,b,c,d)=M$ $$(a,b,c,d)=(120,160,240,480)\,.$$

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P. S. también puede ser demostrado que el valor máximo de $\text{lcm}(a,b,c,d)$$3905625009$. Esto sucede iff $(a,b,c,d)=(247,249,251,253)$.