Dada una serie de potencias de dos, la "cercanía" se puede llegar a un primo?

Question

Dado un natural $n \ge 2$, se puede construir un conjunto de todas las potencias de dos de$2^n$$2^{4n}$:

$$\{2^n, 2^{n+1}, 2^{n+2}, \dots, 2^{4n}\}$$

¿Cuán cerca de uno de estos números vienen a un prime en el peor de los casos?

UN EJEMPLO

Por ejemplo, si $n=2$, el conjunto es:

$$\{2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6, 2^7, 2^8\}$$

$2^2=4$ $1$ , lejos de la 5, y no podemos estar más cerca para cualquier potencia de dos, así que la respuesta es $1$.

LO QUE ESTOY TRATANDO DE ENCONTRAR

Yo estoy buscando una de límites superiores para la distancia a la que podemos obtener a partir de elementos del conjunto (cualquier conjunto que encaja en la descripción de arriba) para un primo. En otras palabras, para un conjunto que encaja en la descripción, y en un mal escenario, donde todos los números primos están muy lejos del conjunto, de lo cerca que van a estar para el conjunto?

Answer 1

Opperman la conjetura implica que hay al menos un primer entre el$2^n$$2^n + 2^{n/2}$.