los números de $1$ $2046$

Question

Hemos tomadas al azar $21$ enteros de$1$$2046$.

La demostración de que podemos tomar $a$, $b$ y $c$ desde el anterior $21$ enteros en una manera tal que el siguiente desigualdad se cumple \begin{equation} bc<2a^2<4bc \end{equation}

Mi Intento:

He encontrado $3$ trillizos de tales enteros, pero no creo que por encima de las desigualdades mantener para cada triplete.

Cualquier sugerencias ?

Answer 1

Deje que el 21 de números de ser $x_1<x_2<\ldots <x_{21}$.

No es posible tener $x_{k+2}\ge 2x_k+1$ (o, equivalentemente,$x_{k+2}+1\ge 2(x_k+1)$)$k$, ya que podría conducir a $2047 \ge x_{21}+1\ge 2^{10}(x_1+1)\ge 2^{11}=2048$. Así encontramos a $k$ tal que $x_{k+2}\le 2x_k$. Con $b:=x_k$, $a:=x_{k+1}$, $c:=x_{k+2}\le 2b$, tenemos $$ bc\le 2b^2<2a^2<2c^2\le 4bc$$ como se desee.

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La anterior prueba sugiere que las condiciones son sharp (es decir, el dibujo sólo 20 números de $1,\ldots 2046$, o el dibujo 21 números de $1,\ldots,2047$ podría no ser suficiente para garantizar la existencia de tales triples. Sin embargo, vemos que ya $x_3=3$ permite recoger $a=2, b=1,c=3$$bc=3<2a^2=8<4bc=12$. Por lo tanto podemos suponer $x_3\ge 4$, y obtener un $x_{21}\ge 2^9\cdot (x_3+1)-1=2559$. Llegamos a la conclusión de que $2046$ puede ser reemplazado con $2558$ en la declaración del problema.

Más investigación muestra que incluso podemos ir a a $3070$: Si $x_3\ge 5$ encontramos como por encima de ese $x_{21}\ge2^9(x_3+1)-1=3071$. Así que podemos suponer $x_3=4$. Si $x_2=2$, nos encontramos con $x_1=1$ y tenemos nuestro triple; y si $x_2=3$ $x_2,x_3,x_4$ es nuestro triple mientras $x_4\le 10$. Llegamos a la conclusión de $x_4\ge 11$, $x_{21}>x_{20}\ge 2^8(x_4+1)-1\ge 3071$.

Answer 2

Tenga en cuenta que para cualesquiera tres números enteros positivos $a,b,c$ si $2^k\leqslant b<a<c<2^{k+1}$ algunos $k\in\mathbb{Z}_{>0}$, luego $$bc<ac<a\cdot 2^{k+1}=2a\cdot 2^k\leqslant 2a\cdot a=2a^2,$$ y $$bc>ba\geqslant 2^ka=\frac{1}{2}\cdot 2^{k+1}a>\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{1}{2}a^2.$$

Por lo tanto, $2^k\leqslant b<a<c<2^{k+1}$ algunos $k\in\mathbb{Z}_{>0}\Rightarrow bc<2a^2<4bc.$

Y $b=1,a=2,c=3$ también satisface el requisito.

Tenga en cuenta que podemos dividir los enteros de $1$ $2046$en diez partes:

\begin{align*} & A_1=\{1,2,3<2^2\}\\ & A_2=\{2^2=4,5,6,7<2^3\}\\ & \dots \\ & A_{10}=\{2^{10}=1024, 1025,\dots, 2046<2^{11}\} \end{align*} Si elegimos $21=10\times 2+1$ enteros en $[1,2046]$,siempre podemos encontrar tres de ellos $x_1<x_2<x_3$ cae en la misma parte $A_i$. Entonces podemos permitir $b=x_1,a=x_2,c=x_3$.

Answer 3

Deje $S$ ser el conjunto de números enteros de $1$$2046$, nos dividimos $S$ $S_i$s como este:

$$S_1=\{1,2,3\}\\S_i=\{s\in\mathbb{Z}\,|\,2^{i}\le s\lt2^{i+1}\}\quad (2\le i\lt10)\\ S_{10}=\{1024,1025,\dots,2046\}$$ Así que tenemos $10$ conjuntos en total, por el principio del Palomar hay un conjunto que tiene al menos $\lceil\frac{21}{10}\rceil=3$ elementos de los $21$ elegidos.

El nombre de estos tres $a,b,c$ tal que $c\lt a\lt b$, a continuación, tratar de probar que estas desigualdades.