¿Cómo calcularías la Dimensión Fractal de este Conjunto de Cantor asimétrico?

Question

Esta construcción elimina el segundo cuarto después de cada iteración. Imagen de Wikipedia:

Wikipedia da la dimensión de Hausdorff como $\log_2 \phi$ donde $\phi$ es la proporción áurea.

Intuitivamente, la dimensión me dice que este conjunto, reducido por un factor de dos, "cabrá dentro de sí mismo" 1,618... veces.

Sin embargo, mi intuición se apoya en la definición de la dimensión de "autosimilitud", que me doy cuenta de que no es la misma que la dimensión de Hausdorff que da la Wikipedia, pero también sé que para conjuntos fractales simples como éste, las dimensiones de Hausdorff y de autosimilitud suelen coincidir.

En mi clase de análisis del año pasado, hablamos brevemente de la definición de la medida de Hausdorff y de la dimensión de Hausdorff, pero me ha resultado muy difícil encontrar ejemplos de personas que muestren realmente cómo calcular esta dimensión para cualquier objeto que no sea el más básico.

Answer 1

Se puede calcular la dimensión de similitud de la siguiente manera. El conjunto se compone de dos copias de sí mismo: una escalada por el factor $1/2$ y el otro escalado por el factor $1/4$ . Por lo tanto, la dimensión de similitud es el único número positivo $s$ satisfaciendo $1/2^s + 1/4^s = 1$ . Desde $1/4=1/2^2$ Esto da como resultado $$\frac{1}{2^s} + \left(\frac{1}{2^s}\right)^2 = 1.$$ Se trata de una ecuación cuadrática en la expresión $1/2^s$ que se puede resolver para obtener $$\frac{1}{2^s} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} = \varphi.$$ Así, $s=\log(\varphi)/\log(2).$

También es posible calcular la dimensión utilizando una técnica de recuento de cajas como en esta respuesta .

Answer 2

Creo que tienes razón en que el cálculo de la dimensión de Hausdorff directamente no es habitual, sino que se calculan dimensiones más sencillas y luego se demuestra que la dimensión de Hausdorff está bien delimitada, o se demuestran fórmulas para clases de objetos y luego se utilizan en casos específicos.

Véase el capítulo 9.2 de "Geometría Fractal": Mathematical Foundations and Applications (2nd ed)" de Kenneth Falconer, que demuestra una fórmula de dimensión para un sistema de funciones iteradas de similitudes que satisfacen una condición de conjunto abierto.

Para su fractal $F$ con ratios de similitud $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{2}$ el conjunto abierto puede tomarse como el intervalo abierto $(0,1)$ con $\dim_H(F) = \dim_{BOX}(F) = s$ que satisface la fórmula de la dimensión:

$$ \left(\frac{1}{4}\right)^s + \left(\frac{1}{2}\right)^s = 1 $$

Multiplicando todo por $2^{2s}$ y reordenando da $$\left(2^s\right)^2 - 2^s - 1 = 0$$ que se puede resolver con la fórmula cuadrática dando $$2^s = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Ahora $2^s > 0$ por lo que se toma la rama positiva, dando la deseada $$s = \log_2 \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \log_2 \phi$$