Segundo derivado de $f(f(\cdots f(x)\cdots )?$

Question

Para mayor comodidad, vamos a escribir $f_n(x)=f(f(\cdots f(x)\cdots )$ $f$ Dónde está iterado $n$ veces. Supongamos: $$f(0)=0,\quad f'(0)=\alpha,\quad f''(0)=\beta$ $ Qué es $f''_n(0)?$

He encontrado $f'_n(0),$ utilizando la regla de la cadena:

$$f'_n(x)=\prod_{k=1}^n f'(f_{k-1}(x))\Rightarrow f'_n(0)=\prod_{k=1}^n f'(0)=\alpha^n$$

Pero estoy atrapado en $f_n''(0)$. Seguramente hay un patrón, pero no puedo lo veo.

Answer 1

Tomemos $f^{\prime\prime}_4(x)$ como un ejemplo.

Tenemos $f^\prime_4(x)=f^\prime[f(f(f(x)))]\cdot f^\prime[f(f(x))]\cdot f^\prime[f(x)]\cdot f^\prime(x)$, por la regla de la cadena.

El producto de la regla da $\frac{d}{dx}p(x)\cdot q(x)\cdot r(x)\cdot s(x)=$$p^\prime(x)\cdot q(x)r(x)s(x)+q^\prime(x)\cdot p(x)r(x)s(x)+r^\prime(x)\cdot p(x)q(x)s(x)+s^\prime(x)\cdot p(x)q(x)r(x)$.

Así que acabamos de calcular la derivada de cada término del producto, y evaluar a los otros términos. Todos los términos evaluar abajo a $\alpha$, para nuestro ejemplo se reduce a $\alpha^3\cdot[p^\prime(x)+q^\prime(x)+r^\prime(x)+s^\prime(x)]$.

$p^\prime(x)=f^{\prime\prime}[f(f(f(x)))]\cdot f^\prime[f(f(x))]\cdot f^\prime[f(x)]\cdot f^\prime(x)=\beta\alpha^3$.
$q^\prime(x)=f^{\prime\prime}[f(f(x))]\cdot f^\prime[f(x)]\cdot f^\prime(x)=\beta\alpha^2$.
$r^\prime(x)=f^{\prime\prime}[f(x)]\cdot f^\prime(x)=\beta\alpha$.
$s^\prime(x)=f^{\prime\prime}(x)=\beta$.

La respuesta es, a continuación,$\beta\alpha^3(\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1)$. Esta última suma se puede escribir como $\frac{\alpha^4-1}{\alpha-1}$, cuando se $\alpha\neq1$.

Generalizando, tenemos $\beta\frac{(\alpha^{n-1})(\alpha^n-1)}{\alpha-1}$ o $n\beta$ al $\alpha=1$.

Eso no es una prueba, pero es lo suficientemente bueno como para distinguir el patrón.

Ahora alguien generalizar a $f^{(m)}_n(0)$. ;-)

Answer 2

Tenga en cuenta que si $g(x)=ax+bx^2+O(x^3)$ y #% entonces $$-$h(x)=cx+dx^2+O(x^3)$-#-{alinean} $$ así que si dejamos que $g=f$ y $h=f_n$ obtenemos el % de repetición $$f_{n+1}''(0)=\alpha f_n''(0)+\beta f_n'(0)^2=\alpha f_n''(0)+\beta\alpha^{2n}.$$