Esférica significa propiedad

Question

Deje $ u(x)$ una función continua sobre un dominio $\Omega$. Deje $N\omega_n r^{N-1}$ el área de una esfera en la $R^N$. No entiendo la razón de este límite: $$ \dfrac{1}{N \omega_n \epsilon^{N-1}} \int_{\partial B_{\epsilon}(y)}u(x) d\sigma \rightarrow u(y)$$ para $\epsilon \rightarrow 0$.

P. S. $u(x)$ no es una función armónica.

Answer 1

Su límite es $$\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{|\partial B_\varepsilon (y)|}\int_{\partial B_\varepsilon (y)}u(x)d\sigma .$$

$$\left|\frac{1}{|\partial B_\varepsilon (y)|}\int_{\partial B_\varepsilon (y)}u(x)d\sigma-u(y)\right|\leq \frac{1}{|\partial B_\varepsilon (y)|}\int_{\partial B_\varepsilon (y)}|u(x)-u(y)|d\sigma .$$

Ahora, $u$ es continua en a${B_1(y)}$ (suponemos WLOG que $B_1(y)\subset \Omega $). Deje $\eta>0$. No es $\delta >0$ s.t. $x\in B_\delta (y)\implies |u(x)-u(y)|<\eta$. Deje $\varepsilon <\delta $. En particular, $$\frac{1}{|\partial B_\varepsilon (y)|}\int_{\partial B_\varepsilon (y)}|u(x)-u(y)|d\sigma\leq \eta.$$ Por lo tanto, $$\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{1}{|\partial B_\varepsilon (y)|}\int_{\partial B_\varepsilon (y)}|u(x)-u(y)|d\sigma\leq \eta.$$Since it's true for all $\eta>0$, la afirmación de seguir.

Answer 2

Sugerencia: puede aplicar la diferenciación de Lebesgue teorema de