La evaluación de la Integral Definida

Question

Evaluación de $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x\sin 2x \sin 3x}{x}dx$

$\bf{My\;Try::}$ Deje $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x\sin 2x \sin 3x}{x}dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2\sin 3x\cos x\sin 2x}{x}dx$

Así, obtenemos $$I = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\sin4x+\sin 2x)\sin 2x}{x}dx$$

Por lo $$I=\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos2x-\cos6x+1-\cos 4x}{x}dx$$

Ahora, ¿Cómo puedo solucionar después de eso , me Ayudan

Gracias

Answer 1

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\iff}{\Leftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\, #2 \,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$

\begin{align} \color{#f00}{I} & = {1 \over 4}\int_{0}^{\pi/2} {\cos\pars{2x} - \cos\pars{6x} + 1 -\cos\pars{4x} \over x}\,\dd x \\[3mm] & = {1 \over 4}\int_{0}^{\pi/2}{\cos\pars{2x} - 1 \over x}\,\dd x - {1 \over 4}\int_{0}^{\pi/2}{\cos\pars{6x} - 1 \over x}\,\dd x - {1 \over 4}\int_{0}^{\pi/2}{\cos\pars{4x} - 1 \over x}\,\dd x \\[3mm] & = {1 \over 4}\int_{0}^{\pi}{\cos\pars{x} - 1 \over x}\,\dd x - {1 \over 4}\int_{0}^{3\pi}{\cos\pars{x} - 1 \over x}\,\dd x - {1 \over 4}\int_{0}^{2\pi}{\cos\pars{x} - 1 \over x}\,\dd x \\[3mm] & = {1 \over 4}\braces{\vphantom{\Large A}% \bracks{\vphantom{\large A}\mathrm{Ci}\pars{\pi} - \ln\pars{\pi} - \gamma} - \bracks{\vphantom{\large A}\mathrm{Ci}\pars{3\pi} - \ln\pars{3\pi} - \gamma} - \bracks{\vphantom{\large A}\mathrm{Ci}\pars{2\pi} - \ln\pars{2\pi} - \gamma}} \\[3mm] & = \color{#f00}{{1 \over 4}\bracks{% \mathrm{Ci}\pars{\pi} - \mathrm{Ci}\pars{3\pi} - \mathrm{Ci}\pars{2\pi} + \ln\pars{6\pi} + \gamma}} \approx 0.8998 \end{align}

$\mathrm{Ci}$ es el Coseno la función Integral e $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.

Answer 2

Sugerencia 1: $$ \int f(x) = F(X) + C \Longrightarrow \int f(ax+b) = \frac{1}{a} \cdot F(ax+b) + C$$

Sugerencia 2: $$ \int \left(f(x) + g(x)\right) = \int f(x) + \int g(x) $$

Sugerencia 3: $$ \int \frac{\cos x}{x} = Ci(x) + C$$

Primer paso: (uso de la pista 2) $$ 4I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos2x-\cos6x+1-\cos 4x}{x}dx =\\ =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x} + 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos 2x -1}{2x} - 6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 6x -1}{6} - 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 4x -1}{4x} $$ Ahora vamos a $f(x) := \frac{\cos x - 1}{x}$, por lo que $$ 4I = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{x} + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(2x) - 6 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(6x) - 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(4x) $$

Editar después de comentario: también puede utilizar la expansión de Taylor de $\cos x$. Pero entonces usted tendrá que series como resultado (sin $Ci$ función).