Intuición detrás del teorema de Strassen

Question

Actualmente estoy diseccionando una prueba del teorema de Strassen, que dice lo siguiente:

Supongamos que $(X,d)$ es un espacio métrico separable y que $\alpha,\beta>0$ . Si $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ son medidas de probabilidad sobre $X$ Satisfaciendo a $$\mathbb{P}(E) \le \mathbb{Q}(E^\alpha) + \beta$$ para cualquier conjunto medible por Borel $E \subset X$ entonces para cualquier $\varepsilon>0$ existe existen dos medidas no negativas $\mu,\nu$ en $X\times X$ tal que

1. $\mu + \nu$ es una ley sobre $X\times X$ con los marginales $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ .

2. $\mu \{(x,y)\in X\times X: d(x,y) > \alpha + \varepsilon \} = 0$

3. $\nu(X\times X) \le \beta + \varepsilon$

Aquí $X$ está dotado de la ley de Borel $\sigma$ -que surge de la topología métrica, y $E^\alpha = \{x \in X : d(x,y) < \alpha \text{ for some } y \in E\}$ es el $\varepsilon$ -ampliación de $E$ .

Ahora mismo me preocupa principalmente la intuición que hay detrás de este teorema y cómo se relaciona con cosas que he aprendido recientemente (digamos, las métricas de Prokhorov y Ky-Fan y varias metrizaciones de convergencias que nos importan cuando tratamos con variables aleatorias).

Lo que entiendo hasta ahora es que, si tenemos una noción generalizada de la distancia de Prokhorov que restringe $\mathbb{P}$ en términos de $\mathbb{Q}$ entonces siempre podemos encontrar una medida de probabilidad en el espacio del producto que en algún sentido "acopla" $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ y lo hace de forma que concentra la masa cerca de la diagonal. Sin embargo, hay que admitir que se trata de un tramo de la imaginación: ¿podrían los probabilistas más experimentados aclarar este resultado? También me gustaría saber en qué lugares concretos se podría utilizar esto.

Answer 1

Bueno, ciertamente es un resultado útil para el acoplamiento. Definamos $M_\epsilon:=\mu+\nu$ entonces $M_\epsilon$ es un acoplamiento de $\Bbb P$ y $\Bbb Q$ por $(1)$ y $$M\left(d(x,y) \geq \alpha+\epsilon\right)\leq\beta+\epsilon.$$ Este último hecho es muy útil: digamos que se tienen dos variables aleatorias $\xi\sim \Bbb P$ y $\eta\sim \Bbb Q$ y desea utilizar $\eta$ para aproximar ciertas propiedades de $\xi$ . Por ejemplo, $\xi$ es un proceso estocástico desagradable y $\eta$ es su discretización. Supongamos que se sabe que $\Bbb Q(\eta_t \in A \;\forall t\geq T) = 1$ para algún conjunto atractor $A$ ¿Cómo se puede utilizar esta información para argumentar sobre el comportamiento limitante de $\xi$ ? Hasta ahora sólo te han dado sus distribuciones, por lo que quieres conectarlas de alguna manera. En el caso $d(x,y) = \sup_t |x_t - y_u|$ el resultado en el OP le dice que $$\Bbb P(\xi_t\in A_{\alpha+\epsilon} \; \forall t\geq T)\geq 1 - \beta-\epsilon$$ donde $A_{\alpha+\epsilon}$ es una bola de un radio evidente alrededor de $A$ que puede ser muy útil en las aplicaciones. Se pueden obtener estimaciones bastante similares utilizando la métrica de Wasserstein. Véase la discusión en la página 3 aquí .