Medida entre el recuento de la medida y de la Lebegue medida

Question

Hay subconjuntos de la recta real que tiene una infinidad de contar medida, pero Lebegue medida 0, por lo que el Lebegue medida se utiliza para la medición de grandes conjuntos de la cuenta de la medida. Mi pregunta es: ¿hay una traducción invariante de la medida m tal que para algunos conjuntos con Lebegue medida de 0 a m-medida es infinito y para algunos conjuntos con infinitos contar medida, el m-medida es 0?

He encontrado un ejemplo: m(A)=0 si a es contable, y m(A)=infinito de otra manera. Así que voy a exigir que la medida puede tomar el valor 1.

Si tal medida existe, podemos encontrar una medida entre este y el recuento de medir? y entre este y el Lebegue medida? y así sucesivamente.

Answer 1

Hausdorff medidas de las dimensiones de entre el 0 y el 1 son un espectro continuo de ejemplos.

Answer 2

Yo creo que lo que se busca es la $\alpha$-dimensiones de Hausdorff medida para algunos $0 < \alpha < 1$.