Demostrar que el ideal de $I = \left( 3, 2 + \sqrt{-5} \right)$ es un alojamiento ideal en $\mathbb{Z}\left[ \sqrt{-5} \right]$.

Question

Demostrar que el ideal de $I = \left( 3, 2 + \sqrt{-5} \right)$ es un alojamiento ideal en $R = \mathbb{Z}\left[ \sqrt{-5} \right]$.

El libro se recomienda la observación de que $$ R/I \cong \left( R/(3) \right)/\left( I/(3) \right). $$

Mi problema es romper la RHS de la isomorfismo.

Creo que estoy tratando de reducir a lo que claramente es una parte integral de dominio y, a continuación, puede utilizar la siguiente proposición.

Ideal $P$ es un primer $\iff$ $R/P$ es una parte integral de dominio.

Cómo se podría ir sobre la comprensión de lo que la RHS parece?

Answer 1

Sugerencia: \begin{align*} \frac{\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]}{\left(3, 2 + \sqrt{-5}\right)} &\cong \frac{\mathbb{Z}[x]/(x^2 + 5)}{(3, 2 + x, x^2 + 5)/(x^2 + 5)} \cong \frac{\mathbb{Z}[x]}{(3, 2+x, x^2 + 5)} \end{align*}