Es $3$ prime en el anillo de enteros del campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2\sqrt{2}-1})$?

Question

Estoy tratando de determinar si el número de $3$ se queda en el primer anillo de los enteros de la cuártica de campo $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2\sqrt{2}-1})$, o más bien se adhieren a una raíz real de $X^4+2X^2-7$.

Yo no sé que $3$ se queda en el primer anillo de los números enteros para la cuadrática subcampo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $3$ no está ramificado en $O_K$.

Soy un topologist trabajando en mi tesis, y cualquier algebraicas ideas sobre la manera de pensar acerca de esta cuestión son bienvenidos.

Answer 1

Utilizar el teorema de 27 de Marcus Número de Campos, si dejamos $\alpha = \sqrt{2\sqrt{2} - 1}$ ser una raíz real de $f(x) = x^4 + 2x^2 - 7$, usted sólo tiene que comprobar que el 3 no divide a $|\mathcal{O}_K/\mathbb{Z}[\alpha]|$, lo que se puede lograr tomando nota de que $$\mathrm{disc}(1,...,\alpha^3) = |\mathcal{O}_K/\mathbb{Z}[\alpha]|^2 \mathrm{disc}(\mathcal{O}_K). $$ So it suffices to check that 3 does not divide the left hand side, which is equal to $$N^K_\mathbb{Q}(f'(\alpha)) = N^K_\mathbb{Q}(4\alpha(\alpha^2 + 1)),$$ which we can evaluate using multiplicativity and transitivity of the norm. It turns out this norm is just a power of 2 times 7, so we can use theorem 27. But $f$ has no roots $\bmod 3$, and one can check that it does not factor into quadratics $\bmod 3$. Así que 3 sigue siendo el primer.