Resultados diferentes a una pregunta básica ( ley de Newton y perservation de impulso)

Question

Carro con masa de $m_0=1 \ kg$ se mueve sin fricción sobre la vía de ferrocarril. Está lloviendo, así que hay un constante flujo de masa de agua $\Phi_m=0.1\ kg/s$. Fuerza constante $F=0.1 \ N$ es la aceleración de la carretilla de forma horizontal.

¿Cuál es la velocidad en el tiempo de $t$ si la carretilla es estacionaria inicialmente ?

He probado con dos diferentes acercamientos y obtuvo resultados diferentes. Me gráficamente ambas funciones y se percató de que ambos eran similares a las $t=0$.

1. La ley de Newton

$$F=m(t)a$$ $$F=(m+\Phi t) \frac {dv}{dt}$$ $$\int dv=F \int\frac{dt}{m+\Phi t}$$

..integrado de 0 a v; y 0 para t

$$v=\frac F\Phi \ln(m+\Phi t)$$

2. Impulso

$$(m+\Phi t)v - 0 = \int Fdt$$ as $F=const.$

$$v=\frac{Ft}{m+\Phi t}$$

Me estoy perdiendo algún concepto detrás de ecuaciones diferenciales?

Answer 1

2ª ley de Newton en forma diferenciada (haciendo caso omiso de vectores) es

$$F_\text{net}=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}\left(p_\text{train} + p_\text{water in trolley} + p_\text{rain just hitting trolley}\right). \tag{1}$$

Usted debe tomar en cuenta el cambio en el momento de la lluvia que se produce cuando se cae en el carro y acelera hasta la velocidad del tren. Esto es en adición a sabiendas de que la fuerza ejercida sobre el tren actúa sobre un cuerpo cuya masa es cada vez mayor. (Hay sutilezas asociados con esta redacción; ver los comentarios de abajo.) Parece que en el método 1 no está de contabilidad para todo.

Ahora, Eqn. 1 puede ser re-escrita como

$$dp = F_\text{net}\,dt$$

a continuación, puede integrar ambos lados para obtener la forma general de la segunda ley de Newton en forma integral. Después de eso, tome en cuenta que el impulso de la lluvia + tren en tanto el inicial y el final de los tiempos. Afortunadamente $p_\text{i,rain}=0$, por lo que de esta forma se simplifica algunas cosas.

Answer 2

Usted debe tener cuidado, ya que hay que tener en cuenta de la fuerza que el agua ejerce sobre el carro, o el impulso de la lluvia. El segundo enfoque hace bastante bien, (con la suposición de que la lluvia cae verticalmente, y por lo tanto no contribuyen al impulso inicial).

En el primer enfoque, podría rehacer para añadir la fuerza que el sistema debe ejercer sobre la lluvia que se acaba de aterrizar en el carro, y por lo tanto (por NIIL) la resistencia adicional que proporciona.

Answer 3

Parece que en este problema la lluvia se mueve a lo $v$ el tren está en la actualidad en, dando una cantidad infinita de energía como $lim_{t\rightarrow \infty}$. Sin embargo, no parece que su uso de la energía de todos modos, sólo ten cuidado si lo haces.

Como BMS dijo, utilice la regla del producto. Esto le da a usted $F= {\Phi}{v(t)}+\frac{dv}{dt}{(m+\Phi)}$ a continuación, reste $\Phi v(t)$ para el otro lado y, a continuación, mover cosas y de integrar más de $t$ para obtener $$\frac{1}{m+\Phi}\int{dt}=\int\frac{dv}{F-\Phi v(t)}$$ I ended up with $$v=\frac{F}{\Phi}\left(1-exp\left[\frac{-\Phi t}{(m+\Phi)}\right]\right)$$ Not too pretty with the $\Phi$ in 3 places but it satisfies $v(0)=0$ y tiene un convergentes velocidad final que parece apelar a mi intuición.Podría ser un ejercicio útil para resolver este problema, pero suponiendo que en lugar de que la lluvia siempre cae verticalmente.