Encontrar el límite de $\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{x}{x^x-1}$

Question

Encontrar $$\lim_{x \rightarrow 0^+}(x^{x-1}-x^{-1})^{-1}$$

mi enfoque

En primer lugar me deben representar un factor de forma más intuitiva $$\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{x}{x^x-1}$$ Sé que $$\lim_{x \rightarrow 0^+} x^x = 1$$ así que sospecho que me han expresión de tipo $\frac{0}{0}$
Ok. Ahora estoy goind encontrar $$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{1}{(\ln (x) +1)\cdot x^x}$$ Ok, pero sabes que yo no tengo idea de cómo puedo lidiar con eso, porque $ln x\rightarrow -\infty$ cuando $x\rightarrow 0^-$ y por otro lado, la $x^x$ va a $\infty$ y no los puedo usar allí Hospital de la regla de nuevo..

Answer 1

$x^x$ no $+\infty$ como $x \to 0^+$.

El límite de $\lim_{x \to 0+} x^x$ es de hecho igual a $1$, como podemos ver por la expresión de las $x^x = e^{x\ln{x}}$.

Por lo tanto, su límite de $$\lim_{x \to 0+} \frac{1}{(\ln(x) + 1)x^x}$$ es de hecho igual a $$\lim_{x \to 0+} \frac{1}{\ln(x) + 1} \cdot \lim_{x \to 0+} \frac{1}{x^x},$$ which is equal to $0 \cdot 1 = 0$.

Answer 2

$x^x=e^{xln(x)}$, $lim_{x\rightarrow 0}xln(x)=0$. $xln(x)={{ln(x)}\over{1\over x}}$ aplicar Hospital. Usted deducir que $lim_{x\rightarrow 0^+}x^x=1$.

Answer 3

$$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{(\ln(x) +1)\cdot x^x} =lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\ln(x^{x^x}) + \ln(e^{x^x})}$$ so as $x \to 0$ and $e >0$, $e^{x^x}$$ se aproxima a infinito más rápido, por lo que el límite tiende a cero.

Answer 4

Sólo otra manera de hacerlo.

Consideremos, en primer lugar $$x^x=e^{x \log(x)}$$ Usando series de Taylor, entonces $$x^x=1+x \log (x)+\frac{1}{2} x^2 \log ^2(x)+O\left(x^3\right)=1+x \log (x)+O\left(x^2\right)$$ $$\frac{x}{x^x-1}=\frac{x}{x \log (x)+O\left(x^2\right) }\sim \frac 1{\log(x)}$$

Answer 5

Tenga en cuenta que $$\frac{x} {x^x-1}=\frac{x\log x} {\exp(x\log x) - 1}\cdot\frac{1}{\log x}$$ As $x\a 0^{+}$ the expression $\log x\a\infty$ and $x\log x\a 0$ therefore the first fraction above tends to $1$ and the second fraction above tends to $0$. The desired limit is thus $0$.