$n$ por $n$ matriz invertible $A$ tiene $\text{rank(A)}=n$

Question

Me pregunto por qué $\text{rank}(A)=n$ significa $A$ es invertible.

Como invertible significa uno a uno y sobre, tenemos que demostrarlo.
$\text{rank}(A)=n$ significa $\dim(N(A))=0$ que significa uno a uno.
Ahora, tenemos que mostrar en.
$\text{rank}(A)=\dim(R(A))=n$ y significa sobre.
Así completamos la prueba.
¿Es eso cierto?

[ADICIÓN]
Quiero comprobar esto: $\text{rank}(A)=\text{rank}(L_A)=\dim(R(L_A))=n$ ¿y significa sobre?
Es decir, ¿que el rango y el codominio tengan la misma dimensión significa que son iguales?
Sé que aunque tienen la misma dimensión, sus espacios pueden ser diferentes, como el espacio de la fila y el espacio de la columna.
¿Pero la afirmación anterior "el rango y el codominio tienen la misma dimensión significa que son iguales" es cierta?

Lo resuelvo. Es cierto que desde $R(L_A)$ es un subespacio de $F^n$ .
Consulte el teorema $1.11$ en el libro de texto "álgebra lineal" de friedberg.

Answer 1

Si $rank(A)=n$ entonces $A$ es una matriz equivalente a $I_{n\times n}$ . Esto significa que hay algunas matrices elementales $E_1,E_2,...,E_s$ tal que $E_s...E_2E_1A=I$ y así $$A=E_1^{-1}...E_s^{-1}I$$ Pero $E_i^{-1}$ también son invertibles como $I$ así que $A$ también es invertible.

Answer 2

Sí. Argumentando como lo has hecho por el teorema de Rank-Nullity, esa es una forma perfectamente válida de mostrar que la transformación es 1-1 y onto.

De hecho, el teorema de nulidad de rango te ayuda a ver que si una matriz cuadrada es una transformación 1-1, entonces también es onto, y de forma similar si es onto, también es 1-1.

Tal vez un punto clave para asegurarse de que está claro es el " $dim(A)=n$ significa "sobre" el punto. Esto sólo dice que la imagen de $A$ como una transformación de $F^n$ a $F^n$ es un $n$ subespacio dimensional de $F^n$ ... pero sólo hay un subespacio de este tipo: ¡el espacio entero! Así, la imagen de $A$ es todo $F^n$ .

Puedes desenrollar un poco la prueba para ver lo que ocurre. Si el rango de la matriz fuera menor que $n$ entonces habría una combinación lineal no nula de las filas de $A$ que era cero. Alineando esos coeficientes en un vector de filas $x=[\alpha_1,\dots,\alpha_n]$ puede ver que $xA=0$ pero $x\neq 0$ , mostrando que la matriz no produce una transformación 1-1. (Algo similar debe ocurrir con las columnas de $A$ si prefiere trabajar con vectores columna).

Answer 3

Si sabe que " $rank(A)=n$ significa $n$ columnas linealmente independientes", entonces deberá considerar que si tiene al menos una columna (o fila) dependiente, esa columna será la $0$ después de algunas operaciones de columna. Ahora, calcula el determinante con respecto a esta $0$ columna, tendrá claramente $det(A)=0$ lo que equivale a $A$ no es invertible. Aquí estoy asumiendo que usted sabe el hecho de que $det(A)\neq0$ si y sólo si $A$ es invertible.