De inyectividad y Surjectivity de la Función Exponencial

Question

¿Por qué es la función exponencial inyectiva pero no surjective?

Answer 1

La verdadera función con valores de $f=\exp:\mathbb R\to \mathbb R$ tiene las propiedades que $f(0)=1$, $f'=f$ y $f(x+y)=f(x)f(y)$ todos los $x,y\in \mathbb R$. Por lo tanto, $1=f(0)=f(x+(-x))=f(x)f(-x)$ y, en particular, $f(x)\ne 0$ todos los $x\in \mathbb R$. Por eso, $f$ no es surjective. Desde $f$ es continuo, por lo tanto también se sigue del teorema del valor intermedio que $f$ alcanza sólo valores positivos o sólo valores negativos. Como $f(0)=1$, se deduce que el $f(x)>0$ todos los $x\in \mathbb R$. Ahora, se deduce que el $f'(x)=f(x)>0$, y por lo tanto $f$ es estrictamente creciente en a $\mathbb R$. Cada estrictamente creciente de la función es inyectiva, por lo $f$ es inyectiva.

Curiosamente, la función exponencial puede ser extendido a $\exp:\mathbb C\to \mathbb C$, donde la función no es inyectiva, y alcanza todos los valores complejos, excepto por la única excepción de $0$.

Answer 2

Si es surjective depende de lo que considere el codominio de la función. Recuerde, si usted tiene una función de $f:A\to B$, entonces el conjunto $A$ es llamado el dominio de la función y $B$ se llama el codominio. $f$ es surjective si y sólo si $f(A)=B$ donde $f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}$, es decir, $f$ que se aplica a todos los puntos del dominio llega a todos los puntos del codominio. Ahora, si consideras $\exp:\mathbb R\to\mathbb R$, entonces es evidente que no surjective, porque sólo afecta a los números reales positivos. Si consideras $\exp:\mathbb R\to\mathbb R^{>0}$, dado que el codominio, $\exp$ sería surjective, porque $\exp(\mathbb R)=\mathbb R^{>0}$.

Una función de $f:A\to B$ es inyectiva, iff $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$ todos los $x,y\in A$. Este es el caso de la función exponencial, ya que es estrictamente monótona.

En general, las dos propiedades (inyectividad y surjectivity) son totalmente ajenos (aunque existen algunas excepciones a la regla).