encontrar x en $\sqrt[3]{6+\sqrt x} + \sqrt[3]{6-\sqrt x} = \sqrt[3] {3}$

Question

¿Cuál satisface la ecuación $\sqrt[3]{6+\sqrt x} + \sqrt[3]{6-\sqrt x} = \sqrt[3] {3}$

(A) $27$ (B) $32$ (C) $45$ (D) $52$ (E) $63$

deje $a = 6+\sqrt x , b=6-\sqrt x$

cubo cada lado

\begin{align} (\sqrt[3]a + \sqrt[3]b)^3 &= (\sqrt[3]3)^3 \\ (\sqrt[3]{a^2} + 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})(\sqrt[3]a + \sqrt[3]b) &= 3 \\ \sqrt[3]{a^3} + \sqrt[3]{3a^2b} + \sqrt[3]{3ab^2} + \sqrt[3]{b^3} &= 3 \\ a + b + 3\sqrt[3]{a^2b} + 3\sqrt[3]{ab^2} &= 3 \end{align}

Sigue habiendo raíz de cubo, ¿cómo la quito?

Answer 1

\begin{align*} a + b + 3\sqrt[3]{a^2b} + 3\sqrt[3]{ab^2} &= 3 \\ 6+\sqrt{x} + 6-\sqrt{x} + 3\sqrt[3]{a^2b} + 3\sqrt[3]{ab^2} &= 3 \\ 12 + 3\sqrt[3]{a^2b} + 3\sqrt[3]{ab^2} &= 3 \\ 3\sqrt[3]{a^2b} + 3\sqrt[3]{ab^2} &= -9 \end{align*}

Dividir por $3\sqrt[3]{ab}$ :

$$\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{a} = \frac{-9}{3\sqrt[3]{ab}}$$

Utilizando la ecuación original vemos que el lado derecho es igual a $\sqrt[3]{3}$ . Usamos eso. Entonces sustituyendo $a=6+\sqrt{x}$ , $b=6-\sqrt{x}$ dará lugar a una ecuación lineal simple en $x$ que podemos resolver.

\begin{align*} \frac{-9}{3\sqrt[3]{ab}} &= \sqrt[3]{3} \\ \frac{-729}{27ab}&=3 \\ ab &=-9 \\ \\ (6+\sqrt{x})(6-\sqrt{x}) &=-9 \\ 36-x &= -9 \\ x &= 45 \end{align*}

Answer 2

Paso 1 (conjetura) : hay algo de $e>0$ tal que $$ 6+\sqrt{x}=(e+\sqrt[3]{3}/2)^3,\quad 6-\sqrt{x}=(-e+\sqrt[3]{3}/2)^3.\tag{$ * $} $$ Se puede ver que si tal $e$ existe entonces la igualdad $\sqrt[3]{6+\sqrt x} + \sqrt[3]{6-\sqrt x} = \sqrt[3] {3}$ se cumple. Resolviendo para $e$ es simple : $$ 12=(6+\sqrt{x})+(6-\sqrt{x})=(e+\sqrt[3]{3}/2)^3+(-e+\sqrt[3]{3}/2)^3=\frac{3}{4}+3\sqrt[3]{3}e^2 $$ de la cual $e=\frac{1}{2}\sqrt[3]{3}\sqrt{5}$ .

Paso 2 (verificar) : con $e$ como en el caso anterior, se puede comprobar que ( $*$ ) se cumple con $\sqrt{x}=3\sqrt{5}$ que equivale a $x=45$ .

Answer 3

Sea $ a = \sqrt[3]{6+\sqrt x} $ y $ b = \sqrt[3]{6-\sqrt x}$ entonces tenemos:

$$ \left\{\begin{matrix} a^3 + b^3 = 12 \\ a + b = \sqrt[3]{3} \end{matrix}\right. $$ Por lo tanto,

$$ ab = \sqrt[3]{-9}$$

o $$ \sqrt[3]{36 - x} = \sqrt[3]{-9} $$ entonces,

$$ x = 45$$

Answer 4

Comience con su idea $a=6+\sqrt{x}$ y $b=6-\sqrt{x}$ . Usted tiene $$ab=36-x \text{, } \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{3} \text{ and } a+b=12$$ Elevar la ecuación intermedia al poder $3$ obtienes $$a+b +3\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})=3$$ y utilizando la hipótesis inicial $$12 +3\sqrt[3]{ab}\sqrt[3]{3}=3 \text{ or } \sqrt[3]{ab}\sqrt[3]{3}=-3$$ y finalmente $$ab=-9$$ lo que permite concluir a $x=45$ como $ab=36-x$ .

Answer 5

$$6-\sqrt{x} = t^3$$ entonces $$6+\sqrt{x} = t^3+2\sqrt{x}$$ La expresión se convierte en: $$t + \sqrt[3]{t^3+2\sqrt{x}} = \sqrt[3]{3}$$ Espalda suplente $\sqrt{x}$ en términos de t, reescribir para que la raíz cúbica esté sola. Eleva a 3, resuelve la ecuación polinómica de 3er grado. Prueba todas las raíces.

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Dato curioso: El $t$ solución pasa a estar estrechamente relacionada con la proporción áurea: $t =\sqrt[3]{3}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) = \sqrt[3]{3}\varphi$ donde $\varphi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$