¿Generalmente asumimos la consistencia de ZFC cuando usamos forzando?

Question

Yo solía pensar que para evitar problemas filosóficos que uno puede asumir consistencia de ZFC. Entonces se obtiene un conjunto modelo $M$ en el % del universo de von Neumann $V$. Y luego el filtro genérico, así como la extensión $M[G]$ $V$.

Pero al parecer uno no puede hacer esto. Al parecer, $M$ sólo será un modelo de un fragmento finito de ZFC. ¿Por qué? ¿Por qué, si ZFC es consistente, ¿no existe un % determinado modelo $M$de ZFC?

Gracias.

Answer 1

$\mathsf{ZFC}$ no puede demostrar que los modelos (gracias a Gödel), e incluso si se supone que $\mathsf{ZFC}$ tiene modelos, todavía no se puede suponer que ha bonito modelos (transitivo "estándar" de los modelos). (Aumentar el lenguaje de la teoría de conjuntos mediante la adición constante de símbolos $c_0 , c_1 , \ldots$. Si $\mathsf{ZFC}$ es consistente, entonces, por la Compacidad así es $T = \mathsf{ZFC} + ( c_{i+1} \in c_i : i \in \omega)$, e $T$ no tiene modelos en los que la interpretación de $\in$ está bien fundada.)

Sin embargo, Levy Reflexión dice que, dado cualquier lista finita de axiomas de la $\mathsf{ZFC}$, hay un $\theta$ tal que $V_\theta$ cumple cada uno de estos axiomas. A continuación, el uso de Löwenheim-Skolem usted puede tomar una contables primaria submodel de un adecuado $V_\theta$. El colapso de este a un conjunto transitivo, se obtiene una contables transitiva modelo original de la lista de axiomas.

Por supuesto, después de esto técnicamente es reconocido, usted comienza a pensar de su obligando a como se realiza sobre $\mathbf{V}$, o quizás $\mathbf{L}$ si desea $\mathsf{(G)CH}$ a celebrar en el modelo de terreno.

Answer 2

Estás en lo correcto, y, de hecho, uno supone más que sólo la consistencia de $\sf ZFC$. De hecho, se asume la consistencia de un modelo estándar de $\sf ZFC$ (que es un fuerte suposición de que sólo la consistencia).

Uno puede hacerlo, y muchos, de hecho, hacer que.

Pero si queremos que nuestras pruebas se pasan en la $\sf ZFC$ e no $\sf ZFC+$"no hay un modelo estándar", entonces no podemos utilizar los modelos de toda la teoría del todo. Afortunadamente $\sf ZFC$ probar la existencia de modelos transitivos de cualquier fragmento finito de $\sf ZFC$, y podemos tomar un arbitrario "lo suficientemente grande como fragmento" y trabajar con eso.

También se puede utilizar Boolean valores de [clase] modelos y deshacerse de toda la necesidad de referencia para establecer los modelos.

Answer 3

Una forma estándar de conseguir alrededor de esto, 'dificultad' es para trabajar en los siguientes conservador extensión de $ \mathsf{ZFC} $: $$ \mathsf{ZFC} \cup \{ \text{$ \mathbf{M} $ es contable y transitiva} \} \cup \left\{ \phi^{\mathbf{M}} ~ \| ~ \phi \en \mathsf{ZFC} \right\}, $$ donde $ \mathbf{M} $ es una constante símbolo. Esta "innovación" es debido a Joseph Shoenfield y se discute en detalle en Kenneth Kunen del libro de Teoría de conjuntos: Una Introducción a la Independencia de las Pruebas. Por supuesto, uno puede trabajar con un sintáctica obligando relación sobre el universo $ \mathbb{V} $ o Booleanos valores de los modelos o "lo que no", pero no creo que es donde real posets vienen. (¿O no?)