Límite El Problema Del Valor En $y''+uy=0$

Question

Considere el problema de valor de frontera

$$y''+uy=0 \qquad y(0)=y(\pi/2)=0$$

(a) ¿Para qué valores de $u$ ¿este problema tiene la solución trivial $y \equiv 0$?

(b) ¿Para qué valores de $u$ ¿el problema tiene soluciones no triviales? Realmente agradecería cualquier ayuda en este caso.

Answer 1

Aquí está su error: usted dice "Lo que había hecho era sub en la ecuación de $r$, de tal manera que $y'' + uy$ se convierte en: $r^2 + u = 0 r= \pm (-u)^{1/2}$ a Continuación, desde la raíz es un número complejo: $r= (u)^{1/2}i$".

La raíz será un número complejo sólo si u es positivo y no se sabe que.

Más bien, considerar los casos separados.

1) $u= 0$. En este caso, la ecuación diferencial es $y''= 0$ que puede ser resuelto mediante la integración de dos veces: $y'= A$, una constante, por lo $y(x)= Ax+ B$. Ahora, $y(0)= B= 0$$y(\frac{\pi}{2})= A\cdot\frac{\pi}{2}= 0$$A= 0$. Desde $A$ $B$ son tanto $0$, $y(x)$ es idéntica $0$, la solución "trivial".

2) $u< 0$. Deje $u= -a^2$ donde $a$ puede ser cualquier número distinto de cero. Entonces la ecuación es $y''- a^2y= 0$ que ha ecuación característica $r^2- a^2= 0$. Que tiene raíces reales $a$$-a$. La solución general de la ecuación es $y(x)= Ae^{ax}+ Be^{-ax}$. $y(0)= A+ B= 0$ y $y(\frac{\pi}{2})= Ae^{a\cdot\frac{\pi}{2}}+ Be^{-a\cdot\frac{\pi}{2}}$. De$A+ B= 0, B= -A$, de modo que para que $A- B= 0$$A= B$. A continuación,$Ae^{a\frac{\pi}{2}}+ Be^{-a\frac{\pi}{2}}= Ae^{a\frac{\pi}{2}}- Ae^{-a\frac{\pi}{2}}= A(e^{a\frac{\pi}{2}}- e^{-a\frac{\pi}{2}})= 0$. Desde $a$ no es $0$, $e^{a\frac{\pi}{2}}- e^{-a\frac{\pi}{2}}$ no es $0$, y debemos tener $A= 0$$B= -A= 0$. De nuevo $A$ $B$ ambos $0$ $y(x)$ es idéntica $0$, la solución "trivial".

3) $u> 0$. Deje $u= a^2$ donde a puede ser cualquier número distinto de cero. Entonces la ecuación es $y''+ ay^2= 0$ que ha ecuación característica $r^2+ a^2= 0$. Que tiene raíces imaginarias $ai$$-ai$. La solución general de la ecuación es $y(x)= A \cos(ax)+ B \sin(ax)$. $y(0)= A= 0$ y $y(\frac{\pi}{2})= B \sin(a\frac{\pi}{2})= 0$. Ahora, debemos tener bien $B= 0$ , de modo que tenemos la solución "trivial" de nuevo o $\sin(a\frac{\pi}{2})$ que sucede si y sólo si $a$ es un número impar: $a= 2n+ 1$ para algunos entero $n$.

Answer 2

Es $\ u$ una constante? Si $\ u$ es una constante, entonces $\forall u, y=0$ es una solución. Suponiendo $\ u$ es una constante, entonces $\ y=A e^{i\sqrt{u} x}+Be^{-i\sqrt{u} x} $

Ahora, tenemos que imponer las condiciones de contorno. $\ y(0)=0 \Rightarrow A+B=0$ o $\ A=-B$ $\ y(\pi/2)=0 \Rightarrow e^{i\sqrt u \pi/2}-e^{-i\sqrt u \pi/2}=0 \Rightarrow sinh(i\sqrt u \pi/2)=0 \Rightarrow sin(\sqrt u \pi/2)=0 \Rightarrow \pi\sqrt u/2=n\pi$

Por lo tanto, $\ \sqrt u=2n \Rightarrow u=4n^2 $ donde $\ \forall n \in \mathbb{Z} $

Answer 3

No es demasiado duro. Hay tres casos para $u$:

1) $u>0\Longrightarrow u=\omega^2$: $$ y" + \omega^2 y = 0\Longrightarrow y = a\cos(\omega x) + B\sin(\omega x). $$ Desde $y(0)=0$ hemos $A=0$. $y(\pi/2) = B\sin(\omega \pi/2)=0$. Si $\omega=2n$, $n\in\mathbb N$, a continuación, $B$ puede ser cualquiera. Si no, $\sin(\omega \pi/2)\ne 0$, e $B=0$, e $y(x)\equiv 0$.

2) $u=0$: $$ y" = 0\Longrightarrow y = Ax + B $$ Mientras que$y(0)=0$,$B=0$. Pero $y(\pi/2) = A\pi/2 = 0\Longrightarrow A=0$, e $y(x)\equiv 0$.

3) $u<0\Longrightarrow u=-\omega^2$: $$ y" - \omega^2 y = 0\Longrightarrow y = Ae^{\omega x} + Be^{-\omega x}. $$ Desde $y(0)=0$, $y(\pi/2)$, tenemos $$ A + B=0\\ Ae^{\omega \pi/2} + Be^{-\omega \pi/2} = 0 $$ El determinante de este sistema es $$ \begin{vmatrix} 1 & 1\\ e^{\omega \pi/2} & e^{-\omega \pi/2} \end{vmatrix} = e^{-\omega \pi/2} - e^{\omega \pi/2} \ne 0; $$ por eso,$A=B=0$$y(x)\equiv 0$.

Hemos terminado.

Answer 4

Evitar el uso de exponenciales y ecuación de Euler, podemos ver que la solución a $$y''+uy = 0$$ is given by $$y = A \sin\left(\sqrt{u}\cdot t\right) + B \cos\left(\sqrt{u}\cdot t\right)$$ cuando no hay condiciones de contorno impuestas.

Ahora es cuestión de ver que $u$ coinciden con las condiciones de frontera.

Si $y(0) = 0$$0 = B$, lo $y(t) = A \sin(\sqrt{u}\cdot t)$.

Ahora si $y(\pi/2) = 0$$0 = A \sin(\sqrt{u} \cdot \pi/2 )$. Ahora sabemos que esto sólo puede suceder si $$\sqrt{u}\cdot \pi/2 = k \cdot \pi$$ for some integer $k$. This equation resolves the question. If it is not satisfied for some integer $k$ entonces no hay soluciones no triviales, y si está satisfecho, entonces hay soluciones no triviales.