Es cierto: Vamos a $\{a_n\}$ ser real de la secuencia. Si $|a_{n+1}-a_n|<\frac1{3^n}$ todos los $n$, $\{a_n\}$ convergente.
Yo estoy pidiendo esto, porque yo era señaló que hay una verdadera secuencia $\{a_n\}$ tal que $|a_{n+1}-a_n|<\frac1{n}$, sin embargo, $\{a_n\}$ no convergente.
Tenga en cuenta que la secuencia de $(a_n)_n$ converge si, y sólo si, la serie $\sum_n (a_{n+1}-a_n)$ converge. (Se puede ver por qué?)
Pero si tenemos $$\forall n\,\qquad \lvert a_{n+1}-a_n \rvert < \frac{1}{3^n}$$ a continuación, en comparación con $\sum_n \frac{1}{3^n}$ la serie $\sum_n \lvert a_{n+1}-a_n \rvert$ converge, es decir, la serie de $\sum_n (a_{n+1}-a_n)$ converge absolutamente. Y por lo tanto converge.
Ahora, la cosa en este argumento que falla cuando estamos solo le $\lvert a_{n+1}-a_n \rvert < \frac{1}{n}$ cuando se compara a la de la serie de $\sum_n \frac{1}{n}$... como esta serie no converge.
Deje $m > n$. Ahora,
$$ |a_m - a_n| \leq \sum_{i=n}^{m+1}|a_{i+1} - a_i| \leq \sum_{i=n}^{m+1}\frac{1}{3^i} \leq \sum_{i \geq n}\frac{1}{3^i} \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$
Por lo tanto $(a_n)_{n \geq 1}$ es una secuencia de Cauchy y por lo tanto por la integridad de los reales, converge. Como alguien ha dicho, que incluso le puede dar una equivalencia entre la convergencia de $(a_n)_{n \geq 1}$, y la convergencia de $\sum_{i \geq i}a_{i+1} - a_i$. Tenga en cuenta que esto puede fallar por $\frac{1}{n}$ porque no es summable: como un ejemplo claro, si
$$ s_n = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{i} $$
a continuación, $(s_n)_{n \geq 1}$ no convergen sino $|s_{n+1} -s_n| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$ por cada $n \geq 1$.
Una secuencia $a_n$ que diverge aunque $|a_{n+1}-a_n|\to 0$ es $$ a_n=\sum_{k=1}^n\frac1n\\ a_{n+1}-a_n=\frac1{n+1} $$ El requisito general para la convergencia mediante la comparación de los términos de la secuencia (y no se refiere a un límite real que puede o no puede ser uno de los términos de la secuencia), es el criterio de Cauchy:
Una secuencia $b_n$ es de Cauchy si para cualquier $\varepsilon>0$, hay un $N\in \Bbb N$ tal que para cualquier $m,n>N$ tenemos $|a_m-a_n|<\varepsilon$.
En otras palabras, no sólo hay un requisito de que $|b_{n+1}-b_n|\to0$, pero también $$ |b_{n+2}-b_n|,|b_{n+3}-b_n|,\ldots $$ todos deben ir a cero "juntos", en el sentido de que el conjunto $$ \{|b_{n+1}-b_n|,|b_{n+2}-b_n|,|b_{n+3}-b_n|,\ldots\} $$ Es acotado, y que va enlazado a$0$$n\to\infty$.
En general, los espacios, donde una secuencia podría mirar como se "debe" a converger, pero no debido a un límite real no existe en el espacio (el conjunto de los números racionales es un ejemplo), Cauchy es un criterio formal para "debería converger".
En general, es la serie de término general $s_n = |a_{n+1} -a_n|$ converge, entonces la secuencia de $(a_n)_n$ converge demasiado.
En efecto, supongamos $\sum s_n<\infty$ $(a_n)_n$ va a una secuencia de Cauchy de la siguiente manera , $$ |a_{n+p} -a_n| \le \sum_{j=0}^{p-1} |a_{n+j+1}-a_{n+j}|= \sum_{j=0}^{p-1} s_{n+j} = \sum_{k= n}^{n+p-1} s_{k} \le \sum_{k= n}^{\infty} s_{k} \to 0\qquad \hbox{as}~~n\to \infty.$$
Sin embargo, tenemos algunos contador de ejemplo . Tome $a_n = \ln(n)$ o $a_n = \sqrt{n}$
Comprobar que en ambos casos, $$|a_{n+1}-a_n| \to 0$$
Considerando, $(a_n)_n$ fuertemente diverge.
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