En la distribución angular de ternas Pitagóricas primitivas

Question

Supongamos $f\, : \, \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ está definido por $$f(x,y) = \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right),$$ y establecer $P\subset \mathbb{Z}^2$ a ser el conjunto de $$P = \left\{(x,y) \in \mathbb{N}\times\mathbb{N}\, \left|\, \sqrt{x^2+y^2}\in\mathbb{N}, \gcd\left(x,y,\sqrt{x^2+y^2}\right)=1\right.\right\}$$ (using the convention that $\mathbb{N}$ does not include $0$; i.e., the set of all $(x,y)$, with $x>0$, $y>0$, integers, so that $\left(x,y,\sqrt{x^2+y^2}\right)$ forma una terna Pitagórica primitiva).

Definir $\Omega_f$ a ser la restricción de $f$ $P$(o la imagen de $P$ bajo $f$).

Si $C = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x> 0,y> 0, x^2+y^2=1\}$ es el segmento del círculo unitario acostado en el primer cuadrante, y $C_f = \Omega_f \cap C$, entonces es $C_f \subset C$ densa?

Pertinentes de las cosas que he considerado:

1. Hay (countably) infinitamente muchos de los primitivos ternas Pitagóricas, pero esto no dice nada acerca de su distribución en el ángulo.
2. De forma equivalente, establezca $C = \{(\cos(\theta),\sin(\theta))\in\mathbb{R}^2\mid 0< \theta < \pi/2\}$ (nota: este es el mismo conjunto como $C$ anterior). Es el conjunto $\{(\cos(\theta),\sin(\theta))\in \mathbb{R}^2\mid 0<\theta<\pi/2, \cos(\theta)\in\mathbb{Q},\sin(\theta)\in\mathbb{Q}\}$ denso como un subconjunto de a $C$?
3. Equivalentemente, vamos a $P$ ser como el anterior. Si establecemos $\theta(x,y) = \arctan(y/x)$ $\text{image}(\theta|_P) \subset (0,\pi/2)$ denso (es decir, es la imagen de la restricción de $\theta$ para el conjunto de $P$ denso como un subconjunto de a $(0,\pi/2)$?
4. Yo sé que la imagen de un subconjunto denso en continuo surjection es de por sí denso, pero no estoy seguro de cómo/si que es relevante.

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Espero que esto no es algo que ya se ha abordado en el MSE, o algo que es extremadamente fácil, pero no he sido capaz de encontrar una prueba (o confirmar si existe uno).

Answer 1

Deje $\ell_m$ ser la recta con pendiente $m$ que pasa por el punto a $(-1,0)$.

Deje $P_m=(x_m,y_m)$ ser el segundo punto de encuentro de $\ell_m$ con el círculo unidad. Es razonablemente claro por la continuidad del conjunto de la segunda reunión de puntos de $m$ rangos de los racionales es denso en el círculo unidad.

La línea de $\ell_m$ ha ecuación de $y=m(x+1)$. Sustituyendo en la ecuación del círculo unidad, obtenemos $x^2+m^2(x+1)^2=1$, que se expande a $$(1+m^2)x^2+2m^2 x+m^2-1=0.$$ Una de las raíces de esta ecuación cuadrática es $-1$, y el producto de las raíces es $\frac{m^2-1}{m^2+1}$, por lo que la otra raíz es $x_m=\frac{1-m^2}{1+m^2}$. En particular, $x_m$ es racional. Sustituyendo en la $y=m(x+1)$ nos encontramos con que $y_m=\frac{2m}{1+m^2}$, también racional.

Para la real ternas Pitagóricas, se uso racional $m$$0\lt m\lt \frac{\pi}{4}$, y la densidad obtenida en el primer cuadrante de la parte del círculo unitario.

Answer 2

Si $p^2+q^2=r^2$$\tan(x)=\frac pq$,$\sin(x)=\frac pr$$\cos(x)=\frac qr$. Niven del Teorema, el cual es demostrado en esta respuesta, dice que si $x\in\mathbb{Q}\pi$$\sin(x)\in\mathbb{Q}$,$\sin(x)\in\left\{0,\pm\frac12,\pm1\right\}$. Dado que tanto $\sin(x)\in\mathbb{Q}$$\cos(x)\in\mathbb{Q}$, debemos tener la $\sin(x),\cos(x)\in\left\{0,\pm1\right\}$.

Por lo tanto, si $p^2+q^2=r^2$$\arg(p+iq)\in\mathbb{Q}\pi$,$pq=0$. Por lo tanto, $$ \arg\left(\frac{4+3i}5\right)\no\in\mathbb{Q}\pi $$ Por lo tanto, podemos encontrar una $m,n$, de modo que $m\arg\left(\frac{4+3i}5\right)+n2\pi$ es arbitrariamente cerca de $0$. Esto significa que $$ \left\{\left(\frac{4+3i}5\right)^n:n\in\mathbb{Z}\right\} $$ es más densa (y uniformemente distribuidos) en el círculo unitario. El mismo puede ser hecho por cualquier otro no trivial de la terna Pitagórica.

Por lo tanto, $$ \left\{\frac{p+iq}r:p^2+q^2=r^2\text{ y }p,q,r\in\mathbb{Z}\right\} $$ es densa y uniformemente distribuidos en el círculo unidad.

En términos de la pregunta, $f(P)$ es densa y uniformemente distribuidos en el círculo unidad.